21.2. Загальне поняття функції багатьох змінних.

Означення. Нехай є змінні величини і змінна величина ; якщо кожному набору значень змінних відповідає певне значення змінної , то ця змінна називається функцією змінних .

Змінні називаються незалежними змінними, причому тут термін аргумент вживається до всього набору змінних; отже, функція п змінних має аргументом п-вимірний вектор, який складається зі скалярних („звичайних”) змінних. Подібно до функцій однієї змінної використовуємо позначення .

Для функції п змінних, так само як і для функцій однієї змінної, можна ввести поняття графіку.

Означення. Графіком функції п змінних називається множина всіх точок (п+1)-вимірного векторного простору, у яких .

Якщо п=2, тобто для функції 2-х змінних, графік – це поверхня у 3-вимірному просторі. Наприклад, графіком функції є параболоїд:

Параболоїд можна вважати узагальненням параболи – графіку найпростішої квадратичної залежності :

Графік функції однієї змінної є надзвичайно змістовним об’єктом. Він є загальною цілісною інформаційною характеристикою функції, відображаючи усі принципові моменти поведінки функції і динаміку її поведінки в цілому. Те саме можна сказати й про графіки функцій багатьох змінних. Але якщо графік функції 2-х змінних зобразити досить складно, то для функцій 3-х і більше змінних це просто неможливо. Тому при аналізі функцій п-змінних доводиться користуватися віддаленими геометричними асоціаціями. Все ж таки, для функцій 3-х змінних ситуація трохи ясніше завдяки змозі використання ліній рівня. За допомогою ліній рівня – ізогіпсів – відображають рельєф місцевості, наприклад:

Найбільш інформаційна карта щодо прогнозування погоди в Інтернеті – це карта атмосферного тиску. На ній можна побачити ті самі „улоговини” і „узвишшя”, тільки тут це вже будуть циклони і антициклони, а відповідні лінії рівня – це лінії рівного тиску – ізобари.

Уявімо собі графік деякої функції від двох змінних – деяку поверхню в тривимірному просторі. Перетнемо цю поверхню кількома площинами з рівняннями , де – деякі числа, і спроектуємо відповідні лінії перетину на координатну площину хОу. Ці лінії і є те, що називається лініями рівня. Наприклад, для функції лінії рівня – це будуть розв’язки рівняння , тобто, концентричні кола радіуса :

Повернемось до задачі лінійної апроксимації з п.21.1 і до отриманої функції сумарної квадратичної нев’язки

.

Лінії рівня з рівняннями цієї функції виглядатимуть приблизно так:

Це концентричні еліпси з центром в точці з координатами (0.89;5.46). Ця точка, зрозуміло і є шуканими оптимальними значеннями параметрів лінійної функціональної залежності; більш детально про це – див. п.21.3.

21.3. Частинні похідні функції багатьох змінних. Узагальнена теорема Ферма.

Класична теорема Ферма для функцій однієї змінної констатує: якщо точка є точкою мінімуму чи максимуму функції і якщо ця функція має похідну в цій точці, то .

Застосування теореми Ферма для відшукання точок екстремумів здійснюється, так би мовити, у зворотньому напрямку порівняно з формулюванням теореми: „беремо” похідну (тобто знаходимо аналітичний вираз похідної), прирівнюємо її до нуля, знаходимо корені утвореного рівняння, серед них неодмінно будуть усі точки екстремуму функції і, можливо, ще точки перегину графіку функції. При цьому ми пам’ятаємо: мова йде про точки локального екстремуму: якщо це точка мінімуму, то в ній функція набуває найменшого значення лише порівняно зі значеннями в точках деякого околу цієї точки, тобто деякого інтервалу навколо цієї точки. Наприклад, для функції

графіком є кубічна парабола, яка тричі перетинає вісь і, виходячи з додатності старшого коефіцієнта, її ліва вітка опускається вниз, а права піднімається вгору. Виходячи з загального уявлення, можна зробити висновок, що функція має точку локального максимуму, і тим околом, який локалізує її саме як точку максимуму, є інтервал (-1, 1) ; функція має також точку локального мінімуму для інтервалу (1, 3).

Уточнюємо положення точок екстремуму за допомогою теореми Ферма:

Тепер, за потреби, можна уточнити попередній ескіз графіка. Для цього знайдемо ще значення функції в точках екстремуму:

Уточнений графік:

Для узагальнення на випадок функцій п змінних теореми Ферма і пов’язаної з нею техніки знаходження точок екстремуму потрібно узагальнити поняття похідної і точки локального екстремуму.

Нехай є функція п змінних . Про неї можна також сказати, що це є функція векторного аргументу, і цей аргумент є п-вимірним вектором або точкою п-вимірного векторного простору:

.

Точка називається точкою локального мінімуму функції , якщо в цій точці ця функція набуває найменшого значення серед усіх точок деякого окола цієї точки. Абсолютно аналогічно виглядає означення точки локального максимуму. І ці означення нічим не відрізняються від відповідних означень щодо функцій однієї змінної. Нічим, окрім однієї обставини: що таке окіл точки п-вимірного простору ? Прямим узагальненням поняття околу для точок числової осі, як інтервалу, що містить дану точку, є таке: