16.3. Властивостi опеpацiї гpаничного пеpеходу.

Найпростіші властивості операції граничного переходу:

Теорема 1. Мають місце властивості:

1)

якщо послідовність має границю, то лише одну;

2)

якщо всі елементи послідовності (або майже всі) рівні між собою і дорівнюють деякому числу, то границя цієї послідовності дорівнює цьому самому числу;

3)

збіжна послідовність обмежена як зверху, так і знизу майже для всіх своїх елементів;

4)

сталий множник можна виносити за знак операції граничного переходу;

5)

за умови існування границі кожної з двох послідовностей границя їх суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) їх границь;

6)

за умови існування границі кожної з двох послідовностей границя їх добутку дорівнює добуткові їх границь;

7)

за умови існування границі кожної з двох послідовностей і відмінності від нуля границі другої послідовності границя їх частки дорівнює частці їх границь.

Наведені властивості випливають безпосередньо з означення границі. Для прикладу розглянемо

Д о в е д е н н я в л а с т и в о с т і 6) .

Нехай – довільне додатнє число, . Треба довести існування такого номера , починаючи з якого виконується нерівність . Перетворимо і підсилимо цю нерівність:

,

тут число таке, яким обмежена послідовність відповідно до властивості 3). Візьмемо . Зрозуміло, що . Тоді, зі збіжності послідовностей і випливає існування номерів і , починаючи з яких виконуються відповідно нерівності і . Виберемо . Тоді, починаючи з ,

В л а с т и в і с т ь 6) д о в е д е н о.

Вправа. 1) Дати доведення решти властивостей операції збіжності. 2) Сформулювати і довести властивість щодо послідовності коренів. 3) Сформулювати і довести властивість щодо послідовності степенів, у яких основи і показники є елементами відповідних послідовностей.

Приклад1.

.

Приклад2.

.

Далі дамо без повного формального доведення більш глибокі властивості операції збіжності.

Теорема 2. Якщо елементи деякої послідовності обмежені зверху деяким числом і при цьому монотонно зростають, то така послідовність неодмінно збігається.

Д о в е д е н н я цієї теореми грунтується на властивості неперервності множини дійсних чисел – числової прямої. Якщо позначити на числовій прямій обмежуюче число і який-небудь елемент послідовності (наприклад, перший), то майже всі елементи послідовності потраплять у зазначений відрізок числової прямої. Якщо поділити цей відрізок навпіл, то в точності одна з половинок буде містити нескінченну кількість елементів даної послідовності (довести це твердження!). Візьмемо цю половинку і так само поділимо її навпіл. Знову виберемо відрізок, що містить нескінченну кількість елементів даної послідовності. І так далі. Отримаємо послідовність вкладених один в одний інтервалів, довжина яких монотонно зменшується до нуля, і кожний з яких містить нескінченну кількість елементів даної послідовності. З неперервності числової прямої випливає існування однієї єдиної спільної точки всіх цих інтервалів, яка і буде границею розглядуваної послідовності.

Вправа. Проілюструвати геометрично наведені вище міркування.

Теорема 3. Якщо елементи деякої послідовності обмежені знизу деяким числом і при цьому монотонно спадають, то така послідовність неодмінно збігається.

Вправа. Виконати і проілюструвати геометрично відповідні міркування, аналогічні наведеним вище.

Теорема 4. (Критерій збіжності Коші). Для збіжності послідовності необхідно і достатньо, щоб для будь-якого, як завгодно малого, додатного числа існував такий номер , який, взагалі кажучи залежить від , починаючи з якого, тобто при , виконувалась нерівність .

Послідовність, для якої виконується вказана нерівність, називається фундаментальною послідовністю. За критерієм Коші фундаментальність гарантує збіжність.

Вправа. Дати строге доведення необхідності. Виконати міркування геометричного характеру для обгрунтування достатності.

Теорема 5. (Теорема Штольца). Нехай є дві послідовності і , такі, що елементи монотонно (хоча б починаючи з деякого номера) і необмежено зростають і при цьому послідовність є збіжною. Тоді

.

Д о в е д е н н я теореми Штольца ми наводити не будемо; зауважимо, що воно неочевидне, нетривіальне і грунтується не на геометричних, а на алгебраїчних перетвореннях і міркуваннях. Може виникнути питання, звідки беруться такі неочевидні теореми; адже, як правило, до своїх теорем математики спочатку здогадуються, а потім вже їх доводять. Так от, це не миттєвий акт і не до кінця пояснюваний процес. Часто буває так, і теорема Штольца належить до числа таких випадків, що теореми, як твердження загального характеру, є результатом аналізу доведень менш загальних тверджень і розв’язувань конкретних задач з подальшим „винесенням за дужки” того спільного, що в ході такого аналізу з’ясовано. „Винесене за дужки” і стає тією загальною теоремою.

Вправа. Показати на конкретних прикладах суттєвість вимог, наведених у формулюванні теореми Штольца.

Одним з частинних випадків щодо теореми Штольца є

Теорема (теорема Коші про границю послідовності середніх арифметичних). Якщо послідовність є збіжною, то збіжною є також і послідовність середніх арифметичних , причому .

Вправа. Довести теорему Коші, поклавши і скориставшись теоремою Штольца.