15.4. Основні характеристики функцій.

Область визначення функції – це множина всіх значень аргументу , для яких існує (визначено) значення функції ; позначається .

Ми будемо мати справу з функціями, які будуть визначатися певними виразами (формулами), що містять невідому величину (або величини), конкретні числа і знаки операцій (дій). В такому випадку діє просте (“робоче”) правило:

область визначення функції — це ті значення аргумента,

для яких можливо виконати всі дії, що визначаються

виразом (формулою) функції.

Наприклад, квадратний корінь можна здобути, якщо підкореневий вираз невід’ємний; дріб, що містить вираз із змінною в знаменнику, існує за умови, що знаменник відмінний від нуля. Аналізуючи таким чином вираз функції, ми поступово формуємо сукупність обмежень, які визначають область визначення функції.

Область зміни (значень) функції – це множина всіх значень, яких набуває залежна змінна (функція), коли незалежна змінна (аргумент) пробігає область визначення; позначається .

Нулем функції називається таке значення аргументу x, при якому функція рівна нулю ( тобто нулі функції є коренями рівняння ).

Графічно нулі функції є точками перетину осі Ox графіком функції:

Інтервали (проміжки) знакосталості функції – це такі інтервали, на які розбивається область визначення функції, в кожному з яких функція набуває значень одного знаку: відповідно проміжки (інтервали) додатності і проміжки (інтервали) від’ємності.

Якщо графік функції знаходиться над деяким інтервалом осі Ох, то це є інтервал додатності функції:

Якщо ж графік функції знаходиться під деяким інтервалом осі Ох, то це є інтервал від’ємності функції:

Екстремуми функції – це точки локальних мінімумів і максимумів функції.

Точка локального мінімуму – це така точка на осі Ох, в якій функція набуває найменшого значення серед точок деякого околу цієї точки. Точка локального мінімуму з найменшим серед усіх таких точок значенням називається точкою глобального мінімуму.

Точкам локального мінімуму відповідають улоговини графіку функції:

Точка локального максимуму – це така точка на осі Ох, в якій функція набуває найбільшого значення серед точок деякого околу цієї точки. Точка локального максимуму з найбільшим серед усіх таких точок значенням називається точкою глобального максимуму.

Точкам локального мінімуму відповідають вершини (піки) графіку функції (хоча вони можуть бути й гладкими, а не гострими):

Інтервали (проміжки) монотонності функції – це інтервали, на які розбивається область визначення функції і на яких функція є монотонною.

Функція називається:

зростаючою, якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з області визначення, таких, що при x₁<x_{2 ,} виконується умова

неспадною , якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з області визначення, таких, що при x₁<x_{2 ,} виконується умова ;

спадною, якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з області визначення, таких, що при x₁<x_{2 ,} виконується умова ;

незростаючою, якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з області визначення, таких, що при x₁<x_{2 ,} виконується умова .

Такі функції називаються монотонними (на відповідному інтервалі) . Наприклад, функція y = x² є спадною на інтервалі і зростаючою на інтервалі :

а функція y = x³ є зростаючою на всій області визначення :

Поняття монотонності (а також і інші поняття, які характеризують функцію) можна вводити не тільки стосовно всієї числової осі, а й стосовно деякого інтервалу числової осі. Наприклад: Функція називається зростаючою (неспадною, спадною, незростаючою) на деякому інтервалі з області її визначення, якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з цього інтервалу таких, що при x₁<x₂ виконується умова (відповідно:  неспадна,  спадна,  незростаюча).

Обмеженість функцій. Функція називається обмеженою зверху на множині X, якщо існує таке число , і обмеженою знизу, якщо існує таке число .

Функція називається обмеженою на множині X, якщо вона обмежена на ній зверху і знизу.

Наприклад, функція у = sinx обмежена зверху і знизу на всій числовій осі, оскільки .

Функція у = x² обмежена знизу на всій числовій осі, оскільки

Функція обмежена зверху на всій числовій осі, оскільки або .

Періодичність функцій. Функція називається періодичною, якщо існує число таке, що для довільного x із області визначення X функції виконуються умови: .

Зауважимо, що поняття, які характеризують функцію, можна вводити не тільки стосовно всієї числової осі, а й стосовно деякого інтервалу числової осі. Наприклад: Функція називається зростаючою (неспадною, спадною, незростаючою) на деякому інтервалі із області її визначення , якщо для довільних двох чисел x₁, x₂ з цього інтервалу таких, що при x₁<x₂ виконується умова (  неспадна,  спадна,  незростаюча).

Парність та непарність функцій. Функція , область визначення якої X симетрична відносно початку координат точки O називається парною , якщо для довільного x із її області визначення виконується рівність

,

і називається непарною, якщо

Графік парної функції симетричний відносно осі Oy, оскільки йому разом з точкою завжди буде належати і симетрична відносно осі Oy точка ; навпаки, якщо графік функції симетричний відносно осі Oy, то функція  парна.

Графік непарної функції центрально-симетричний відносно початку координат, оскільки разом з точкою йому належить і точка .

І, навпаки, якщо графік функції центрально-симетричний відносно точки O, то функція непарна.

Наприклад, парними є функції а непарними  функції

Зауважимо, що існує багато функцій, які не є ні парними, ні непарними, наприклад,

Приклади.

1. Функція модуль х.

Цей закон відшукання y за значенням x можна застосувати до кожного дійсного числа, отже областю визначення є вся множина дійсних чисел .

Аргумент x може набувати всіх дійсних значень, отже областю визначення є вся множина дійсних чисел ; при цьому набуває всіх невідємних значень, тобто областю зміни функції є множина .

2. Функція сігнум х (знак числа)

,

.