Недоліки генетичної трактовки
змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) передбачається такою, що пробігає безперервний ряд числових значень. Тому поняття зв'язується лише з числовими функціями одного числового аргументу.
Логічна трактовка поняття «функції»
Логічне трактування поняття функції:
поняття функції виводиться з поняття відношення,
функція виступає у вигляді відношення спеціального вигляду між двома множинами.
Переваги логічного трактування:
Збагачення мови шкільної математики за рахунок ілюстрації поняття за допомогою різних засобів;
Узагальненість поняття, що дозволяє встановлювати різні зв'язки.
Недоліки логічного трактування:
Вироблене поняття не прижилося, оскільки надалі в основному використовуються лише числові функції
Система компонентів поняття «функції»
уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах і в математиці;
уявлення про функцію як про відповідність;
побудова і використання графіків функцій, дослідження функцій;
обчислення значень функцій, визначених різними способами.
Введення поняття функції – тривалий процес, що завершується формуванням уявлень про всі компоненти цього поняття в їх взаємний зв'язок.
Вивчення різних способів задання функції – важливий методичний прийом.
Напрями введення поняття «функції»
впорядкування уявлень про функції, розгортання системи понять, характерних для функціональної лінії:
способи задання і загальні властивості функцій,
графічне тлумачення області визначення, області значень, зростання і спадання тощо;
глибоке вивчення окремих функцій і їх класів;
розширення області додатків алгебри за рахунок включення в неї ідеї функції і розгалуженої системи дій з функцією.
Особливості першого напрямку
Однозначності відповідності аргументу і визначеного по ньому значення функції відводиться значне місце.
Для формування поняття притягуються різні способи завдання функції, хоча надалі всі способи завдання функцій грають супідрядну роль аналітичному способу завдання.
Причини важливості розгляду різних способів задання функцій
По-перше, воно пов'язане з практичною потребою:
таблиці, і графіки, як правило, слугують для зручного в певних обставинах представлення функції, що має аналітичну форму запису.
По-друге, воно важливе для засвоєння всього різноманіття аспектів поняття функції:
формула виражає функцію лише будучи включеною у відповідну систему уявлень і операцій, а ця система така, що різні компоненти поняття функції можуть бути відображеними різними засобами.
Система завдань на встановлення зв'язків між трьома основними способами завдання функції (формулою, графіком, таблицею) включає: 1) 6 типів вправ із зміною форми; 1) 3 типи із збереженням форми.
Основні підходи до введення поняття «функції»
Індуктивний підхід
Спочатку розгляд значного числа прикладів, за допомогою яких інтуїтивно виявляється суть поняття,
подальше строге визначення основних понять.
Дедуктивний підхід
Спочатку повний і стислий виклад учбового матеріалу, нехай навіть малозрозумілого при першому прочитанні,
подальше поглиблене опрацювання всіх прикладів, термінів і визначень за допомогою ілюстрацій.
Вивчення класів функції
Клас функцій – множина функцій, що володіють спільністю аналітичного способу завдання (формули) і схожими особливостями графіка, сфер застосування.
Для функцій, що входять в клас, вивчення йде в двох аспектах : 1) Вивчення даної функції як члена класу; 2) Вивчення властивостей всього класу на прикладі типової функції, що входить в клас.
Методична схема вивчення функції, яка входить в клас
Методичні особливості вивчення прямої та оберненої
пропорційної залежності
Опора на знання про пропорцію і пропорційну залежність величин.
Індуктивний підхід до введення поняття.
Використання прийому «загущення» точок при побудові графіка.
Послідовність дій побудови графіків функцій методом
«загущення» точок
зображення декількох точок;
спостереження — всі побудовані точки розташовані на одній прямій;
проведення цієї прямої;
перевірка: 1) беремо довільне значення аргументу і обчислюємо по ньому значення функції; 2) наносимо точку на координатну плоскість — вона належить побудованій прямій.
висновок про графік даної функції.
Вивчення лінійної функції
Уявлення про лінійну функцію виділяється при побудові графіка деякої лінійної функції.
Основна думка, яку необхідно обґрунтувати, полягає в тому, що розгляд графіка окремо взятої лінійної функції не може дати повного уявлення про основні властивості графіків всіх лінійних функцій.
Побудова графіків лінійної функції
Побудова першої з даних функцій проводиться методом «загущення» точок.
Потім на основі виводу про вигляд лінії, що є графіком будь-якої лінійної функції, геометрично обґрунтовується другий спосіб побудови графіка лінійної функції – «по двох точках».
Слід відразу відзначити, що перший спосіб є універсальним (тобто загальним для всіх функцій), а другий – специфічним для лінійної функції.