Тема 8. Общие методы определения перемещений в произвольных произвольно нагруженных системах. Статически неопределимые системы.
В
этой теме изучаются общие методы
определения угловых и линейных
перемещений, когда в поперечных сечениях
балки возникают одновременно (или в том
или ином сочетании) : нормальное усилие
N
, поперечные силы 
изгибающие моменты 
относительно осей y
и z
и крутящий момент
относительно оси бруса х.
Наиболее целесообразно определять перемещения с помощью интеграла Мора, позволяющего находить их для любых сечений упругой системы и в любом направлении. Интеграл Мора имеет следующий вид:
dS.
Если
элементы упругих систем испытывают
деформации кручения и изгиба, тогда
тремя последующими членами обычно
пренебрегают, т.к. перемещения сечений
от нормального усилия N,
поперечных сил 
часто весьма малы по сравнению с
перемещениями от 
для прямого чистого или поперечного
изгиба обычно используют выражение
dS
В
элементах ферменных систем значения
внутренних силовых факторов 
следовательно, в них возникает только
нормальное усилие, поэтому
Для балок с прямолинейной осью (при постоянной площади поперечного сечения по их длине) упрощение решения интеграла Мора дает способ Верещагина. Например, для балки, испытывающей деформацию изгиба, перемещение можно найти по формуле
.
Здесь
- площадь эпюры изгибающего момента от
западных сил;
ордината,
взятая с эпюры изгибающего момента
балки, нагруженной единичной силой или
единичным моментом, под центром тяжести
эпюры от западных сил; 
– жесткость сечения балки
–
го участка.
Последовательность определения перемещений по способу Верещагина принимается следующей:
Строят эпюры внутренних силовых факторов от западных сил (при необходимости эпюры расслаиваются).
Балку освобождают от внешних нагрузок и нагружают в интересующем сечении единичной силой (единичным моментом) и строят соответствующие эпюры.
Перемножают эпюры.
В ряде случаев равнодействующие внутренних сил не могут быть определены при помощи уравнений равновесия. Упругие системы, которые не могут быть решены с помощью одних уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Раскрытие статической неопределенности предполагается производить по методу сил. Система считается геометрически не измеряемой, если любое её сечение получает перемещение только за счет деформации, вызванной действием внешних сил. Геометрическая неизменяемость системы обеспечивается накладываемыми на нее связями. Различают связи необходимые и лишние. Связи, удаление которых сохраняет геометрическую не изменяемость системы, называют лишними или условно необходимыми. Следовательно, раскрыть статическую неопределенность системы – означает составить дополнительные уравнения, с помощью которых можно определить усилия по направлению лишних связей. Различают внутренние и внешние лишние связи. В соответствии с этим внутренние и внешние статически неопределенные системы.
Раскрытие неопределенности системы начинается с освобождения ее от лишних связей (без нарушения геометрической неизменяемости) и замене их действия силами или моментами, подобранными так, чтобы перемещения в системе соответствовали ограничениям, накладываемым на систему отброшенными связями. Порядок раскрытия статической неопределенности систем обычно следующий:
Определяют степень статической неопределенности, а следовательно количество недостающих уравнений.
Записывают канонические уравнения метода сил; для n раз статически неопределимой системы они имеют вид:
I
II
III
n
.
. . 
_______________
.
. . 
______________________________
.
. . 
______________________________________________
. . . . . . . . . . . .
.
. . 
_______________________________________________________________
где чертой с индексом, например I, показано каноническое уравнение, применяемое при решении один раз статически неопределимой системы, и т.д.
Выбирают основную систему, причем выбор должен быть сделан из условия необходимости получить наиболее простое решение задачи.
Показывают эквивалентную систему. Так называется статически определимая геометрически неизменяемая система, получаемая из заданной статичеки неопределимой системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия искомыми силами, моментами.
Строят эпюры: от заданных сил в основной системе (обозначаются
)
и от единичных сил (моментов) каждый
раз отдельно в основной системе
(обозначают 1,2,3 и т.д.).Перемножают эпюры по способу Верещагина и находят значения
входящие в каноническое уравнения.Решая систему канонических уравнений, находят неизвестные значения
…,
по направлению соответствующих лишних
связей.Значение неизвестных величин показывают в эквивалентной системе и строят эпюры внутренних силовых факторов.
Вопросы для самопроверки
Что понимается под названием потенциальная энергия деформации? Какие члены интеграла Мора сохраняются при решении плоских систем, при решении стержневых систем? В чем сущность способа Верещагина и когда его нельзя применять? Что называется заданный, основной и эквивалентной системами? Какие перемещения называют главными, а какие – побочными? Назовите симметричные и обратно симметричные внутренние силовые факторы. Какие упругие системы называют симметричными, а какие – обратно (косо) симметричными?