Тема 6. Кручение

Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y   равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюда­тель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 3.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы пло­ских сечений.

Рис. 3.1

Для построения эпюры крутящих моментов M_z  применим тра­диционный метод сечений  В теме дается определение деформации кручения бруса с прямой осью при нагружении внешними (скручивающими) парами в сечениях, перпендикулярных его оси.

Основное внимание уделяется установлению зависимости между касательным напряжением, крутящим моментом, полярным моментом инерции сечения и расстоянием площадки, в которой определяется напряжение, до центра тяжести для сечений круглого, круглого кольцевого, тонкостенного замкнутого. При этом в основу вывода указанной зависимости положена гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси после деформации; радиусы в поперечном сечении прямолинейны до деформации, остаются прямолинейными после деформации.

Рассматривается также кручение брусьев прямоугольного поперечного сечения и тонкостенного разомкнутого сечения. При этом гипотеза Бернулли здесь непригодна: сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, после – де -планируют (искривляются) и картина распределения касательных напряжений существенно изменяется.

Расчет брусьев на прочность выполняются по формуле:

,

Где - крутящий момент;

- момент сопротивления кручению;

- допускаемое напряжение при сдвиге, равное примерно ≈ 0,6 .

Брусья, работающий на кручение, рассчитывают также на жесткость. Для этого вводятся понятия угла поворота сечения (угла закручивания) , относительно угла . Здесь – длина участка бруса.

При этом определяется из выражения

,

Где С = G – жесткость сечения бруса при кручении;

полярный момент инерции круглого поперечного сечения бруса.

Устанавливается связь между модулем продольной деформации Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона µ:

Считается, что жесткость бруса обеспечена, если , где допускаемый угол закручивания обычно задается.

В теме рассматривается расчет винтовых пружин с малым шагом на прочность, определения осадка пружины.

Вопросы для самопроверки

Что такое чистый сдвиг, закон парности касательных напряжений? Напишите закон Гука при сдвиге. Что называется крутящим моментом? Как он определяется, его размерность? Как найти касательное напряжение произвольной точки бруса круглого поперечного сечения? Покажите закономерность распределения касательного напряжения в брусе круглого поперечного сечения и по контуру бруса прямоугольного поперечного сечения. Какой брус называется тонкостенный? Что такое полярный момент инерции сечения, момент сопротивления сечения? Чему они равны для простых форм и их размерность? Как определяется угол закручивания бруса? Напишите условия проектировочного и проверочного расчетов брусьев при кручении. Когда пружина называется пружиной с малым шагом? Что называется осадкой пружины? Как проводят расчет пружин на прочность и жесткость? В какой точке поперечного сечения стержня, из которого изготовлена пружина, возникает наибольшее напряжение?