7.2. Основные дифференциальные зависимости между м,Qи q

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 7.5, а).

Рис. 7.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 7.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0 ;

M_x + Q_y dz + q dz×dz/2 - M_x - d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим:

(5.4)

откуда

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линей­ной, а функция M_x - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

7.3. Напряжения при чистом изгибе

При этом в брусе в общем случае возникает нормальные и касательные напряжения. Предположим, что внешние силовые факторы приложены в одной плоскости, она совпадает с осью у, являющейся главной осью инерции сечения. Пусть ось у будет осью симметрии сечения (см.тему 4). Тогда внутренние силы в поперечном сечении приводятся только к изгибающему моменту или изгибающему моменту и поперечной (перерезывающей) силе одновременно. В первом случае изгиб называется прямым чистым, а во втором – прямым поперечным.

В этом разделе остановимся в основном на расчете балок на прочность и изучении деформаций и перемещений, т.к. вопросы определения внутренних силовых факторов в сечениях бруса.

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении балки возникают только нормальные напряжения.

. (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения  в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = y_max):

,

где   момент сопротивления сечения.

Расчет балок на изгиб – подбор величины поперечного сечения – осуществляется на основании условия прочности:

.

Здесь - изгибающий момент относительно нейтральной линии ( ось z);

- момент сопротивления;

– допускаемое напряжение;

– предельное напряжение: для пластичных материалов - = , для хрупких - ;

- предел текучести материала; -

n - прочности, задаваемый в каждой отрасли машиностроения.

В случае прямого поперечного изгиба расчет балок на прочность осуществляется по той же формуле, что и при прямом чистом изгибе, если сечение не тонкостенное, и при условии, что отношение длины балки L к размеру b, параллельному силовой оси поперечного сечения балки, . При этом касательные напряжения на порядок меньше нормальных напряжений и все «перекрываются» запасом прочности, который принимается, например, в машиностроении 2,0 – 2,5.

Если сечение тонкостенное или соотношение длины балки и размера поперечного сечения в направлении силовой оси меньше или равно 6, то следует учитывать действие касательное напряжение.

Для балок сплошного поперечного сечения касательные напряжения определяются по формуле

Где – поперечная сила в сечении;

- статический момент отсеченной части сечения балки;

- осевой момент инерции;

точке поперечного сечения касательного напряжения.

Следует обратить внимание на то, что в формуле для определения значения касательного напряжения относится не ко всему поперечному сечению балки, а лишь к части его, лежащей выше или ниже линии параллельной нейтральной оси, в точках которой определяется касательное напряжение. В тоже время момент инерции относительно нейтральной оси принимается для всего сечения.

При изучении закономерности распределения нормальных напряжений необходимо обратить внимание на неравномерность его в направлении силовой оси. С учетом этого целесообразно самостоятельно найти пути снижения расхода материала балки при одинаковой ее прочности.