Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Прочностные и деформационные возможности балок (брусьев, преимущественно работающих на изгиб), поперечные сечения, которых не являются правильными фигурами, существенно зависят от ориентации (в отношении поперечных сечений) внешних сил, прикладываемых к балкам.

Поэтому изучению раздела « Изгиб» обычно предшествует ознакомление с некоторыми геометрическими характеристиками сечений.

Геометрические характеристики плоских сечений:

• статические моменты площади:

(3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегри­рование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих инте­гралов представляет собой сумму произведений элементарных пло­щадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй  относительно оси y.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

. (3.5)

• полярный, осевой и центробежный моменты инерции сечения

(3.7)

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно, что

² = x² + y²,

следовательно,

.

• при параллельном переносе осей;

(3.9)

и, наконец, зависимость между моментами инерции относительно осей, составляющих между собой некоторый угол.

(3.11)

Разместим начало системы координат в центре тяжести поперечного сечения балки, работающей на изгиб, и будем поворачивать балку определенным образом относительно этой системы координат. В этом случае осевые и центробежный моменты инерции будут получать каждый раз новые значения.

Осевые моменты инерции достигнут экстремального (максимального и минимального) значения относительно взаимно перпендикулярных осей тогда когда центробежный момент станет равный нулю. В этом случае оси, лежащие в плоскости поперечного сечения, получают название главных центральных осей инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей – главных центральных моментов инерции. Определение положения главных центральных осей и значений главных центральных моментов инерции

Главные центральные моменты инерции определяются в такой последовательности:

1. Выбирают применительно к поперечному сечению балки систему координат.

2. Относительно этой системы координат определяют положения центра тяжести сечения.

3. Проводят через центр тяжести сечения центральные оси параллельно исходным.

4. Используя формулы переноса, находят значения осевых и центробежного моментов инерции относительно параллельных осей.

5. Определение положения главных центральных осей инерции

находят угол , на который необходимо повернуть центральные оси, чтобы они стали главными центральными, и направление их поворота.

6. Используя формулы поворота, определяют величину главных центральных моментов инерции.

Вопросы для самопроверки

Что такое осевой, центробежный и полярный моменты инерции? Какая существует связь между осевыми и полярным моментами инерции? Основное свойство статического момента площади. Формула параллельного переноса осей. Относительно, какой оси осевой момент инерции сечения достигает наименьшего значения? Какие оси называются главными, а какие – центральными? Укажите основное свойство всех моментов. Как изменяются значения моментов инерции правильных фигур (например, квадрат, круг и т.д.) относительно взаимно перпендикулярных центральных осей при повороте на произвольный угол?