2.2. Свойства и особенности ортогонального проецирования

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования, и, кроме того, для него справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла.

При составлении чертежей используется ортогональное проецирование по методу Монжа – ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 7): П₁ – горизонтальную и П₂ – фронтальную. Плоскость П₁ пересекает плоскость П₂ по линии Ох, которую называют осью проекций.

Д ля создания чертежа плоскость П₁ совмещают с плоскостью П₂, вращая ее вокруг оси Ох. Чертеж, выполненный таким образом, часто называют эпюром Монжа. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. При выполнении ортогональных проекций полагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Графическая модель объекта любой сложности рассматривается как геометрическое место точек, по взаимному расположению которых можно составить представление о форме отображаемого объекта. По расположению точек относительно системы координат судят о положении объекта в пространстве. Таким образом, рассмотрев процесс проецирования точки на плоскости П₁ и П₂, можно составить алгоритм выполнения чертежа объекта. При проецировании точка принимается за физический объект.

2.2.1. Отображение на комплексном чертеже точки, прямой и плоскости

Точка. При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость (рис. 8). Ортогональные проекции точки А и А называются соответственно горизонтальной проекцией и фронтальной проекцией (рис. 8 и 9). Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси Ох и пересекающих эту ось в одной и той же точке А_Х (так как проецирование прямоугольное). Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Справедливо и обратное, т.е. если на плоскостях проекций даны точки А и А, расположенные ни прямых, пересекающих ось Ох в точке А_х под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А. Расстояние АА_Х между горизонтальной проекцией точки и осью Ох равно расстоянию от точки А до плоскости П₂, а расстояние АА_Х между фронтальной проекцией точки до оси Ох равно расстоянию от точки А до плоскости П₁.

А

А_х

П₂

О

х

П₁

А

Рис. 8. Процесс проецирования

точки на две плоскости проекции

Рис. 9. Ортогональные

проекции точки

В соответствии с декартовой системой координат эти расстояния равны координатам точки А и называются: АА_Х  ордината; АА_Х  аппликата. Координаты точки – это величины, которые определяют положение этой точки в пространстве, а также на плоской или кривой поверхности.

Нередко, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью  профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂ (рис. 10). Проекция точки на эту плоскость обозначается А¢¢¢ (рис. 10, 11). В этом случае плоскости проекций делят пространство на октанты. В первом октанте координаты точек положительные (рис. 10, табл. 3).

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций вращают плоскости П₁ и П₃ соответственно вокруг осей х и z до совмещения с плоскостью П₂. Плоскости проекций, пересекаясь, образуют три линии пересечения – оси Ох, Оу и Оz. В соответствии с декартовой системой координат на оси Оz откладывают координату z; на оси Оу – координату у; на оси Ох – координату х.

Таблица 3

Знаки координат точек по октантам

Октант	Знаки координат			Октант	Знаки координат
	х	у	z		х	у	z
I	+	+	+	V	-	+	+
II	+	-	+	VI	-	-	+
III	+	-	-	VII	-	-	-
IV	+	+	-	VIII	-	+	-

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций: одна из ее координат равна нулю. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Если у точек равны две одноименные координаты, то эти точки называются конкурирующим. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. Соответствующие (одноименные) проекции кон-курирующих точек совпадают (рис. 12).

П рямая. Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она называется прямой общего положения (рис. 13, 14).

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня. Каждая из них проецируется на параллельную ей плоскость проекций без искажения, т.е. длина отрезка равна длине его проекции на эту плоскость.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой. Для любой пары точек такой прямой справедливо: z_А = z_В = А¢¢В¢¢ Ох, А¢¢¢В¢¢¢ Оу, АВ¢ = АВ (рис. 15, 16).

Рис. 13. Проецирование Рис. 14. Эпюр прямой

прямой общего положения общего положения

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной, в этом случае: y_А = y_В = АВ¢ Ох, А¢¢¢В¢¢¢ Оz, А¢¢В¢¢ = АВ (рис. 17).

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (рис. 18), т.е. для пары точек, принадлежащей этой прямой, справедливо: х_А = х_В = АВ¢ Оу, А¢¢В¢¢ Оz, А¢¢¢В¢¢¢ = АВ.

Рис. 15. Проецирование Рис. 16. Эпюр

горизонтальной прямой горизонтальной прямой

Рис. 17. Эпюр Рис. 18. Эпюр

фронтальной прямой профильной прямой

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими (рис. 19):

АВ  фронтально проецирующая прямая;

ВС – профильно проецирующая прямая;

BD  горизонтально проецирующая прямая.

Рис. 19. Проецирующие прямые

Следы прямой линии. Следом прямой линии называется точка, в которой прямая пересекает плоскость проекции (рис. 20).

Горизонтальный след прямой (а)  это точка ее пересечения (H, z_H = 0) с горизонтальной плоскостью проекций (П₁).

Фронтальный след прямой (а)  это точка ее пересечения (F, у_F = 0) с фронтальной плоскостью проекций (П₂).

Профильный след прямой (а)  это точка ее пересечения (P, х_P = 0) с профильной плоскостью проекций (П₃). Следы прямой являются точками частного положения. Проекции следа прямой совпадают с самим следом на одноименной плоскости проекции, а другие проекции этого следа лежат на осях. Например, фронтальная проекция F фронтального следа прямой а совпадает со следом F (F = F), а горизонтальная проекция фронтального следа F лежит на оси х, соответственно профильная проекция фронтального следа F  на оси z.

Рис. 20. Нахождение следов прямой линии:

а) аксонометрическое изображение; б) эпюр

Для построения горизонтальных следов H прямых l и m (рис. 21, 22) необходимо продлить фронтальную проекцию до пересечения с осью х (H¢¢ принадлежит Ох), затем – горизонтальную (H¢ принадлежит l ); а H = H¢.

Следы прямой являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта (рис. 20а).

Рис. 21. Следы Рис. 22. Следы

прямой линии прямой линии

Плоскость. На чертеже плоскость отображается в виде проекций:

• трех точек, не лежащих на одной прямой линии (рис. 23а);

• прямой линии и точки, не принадлежащей этой прямой (рис. 23б);

• двух пересекающихся прямых (рис. 23в);

• двух параллельных прямых (рис. 23г);

• следов плоскости – прямых линий, по которым заданная плоскость пересекается с плоскостями проекций (рис. 23д).

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций. Плоскость общего положения (не перпендикулярна ни одной плоскости проекций) имеет три следа (рис. 24): горизонтальный (h_0), фронтальный (f_0), профильный (p_0). Следы плоскости общего положения пересекаются на осях в точках x_, y_, z_. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя плоскостями проекций. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

П

Рисунок 23.

лоскость частного положения. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью (рис. 25).

Рис. 23. Графическое отображение плоскости в виде проекций:

а) трех точек; б) точки и прямой; в) пересекающихся прямых;

г) двух параллельных прямых; д) следов плоскости

Г

Рис. 24. Следы плоскости общего положения

оризонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является ее горизонтальным следом (h_0). С ним совпадают горизонтальные проекции всех точек и прямых, принадлежащих этой плоскости, например: если АВС, то АВ, СВ, АС совпадают с h_0, фронтальная (АВС) и профильная (АВС) проекции  в виде треугольников.

Рис. 25. Горизонтально проецирующая плоскость:

а) аксонометрическая проекция; б) эпюр

Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (П₂, АВС), называется фронтально проецирующей плоскостью (рис. 26). Фронтальной проекцией плоскости  является прямая линия, совпадающая со следом f_0.

Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (П₃), называется профильно проецирующей плоскостью (рис. 27). Профильной проекцией такой плоскости является прямая линия, совпадающая со следом плоскости (p_0).

ы

Рис. 26. Фронтально Рис. 27. Профильно

проецирующая плоскость проецирующая плоскость

Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций,  горизонтальная плоскость. Любая геометрическая фигура, принадлежащая этой плоскости, проецируется на П₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ проецируется в прямые  следы плоскости.

Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной плоскостью.

Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной плоскостью.

Главные линии плоскости. Среди прямых линий, которые могут быть расположены в плоскости, особое место занимают четыре вида прямых.

Горизонтали (h) – прямые, лежащие в плоскости (АВС) и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рис. 28). Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Ох (h Ох).

Фронтали (f) – прямые, расположенные в плоскости (АВС) и параллельные фронтальной плоскости проекций ( f , f  Ох).

Профильные прямые (p) – прямые, находящиеся в данной плоскости и параллельные профильной плоскости проекций.

Следует заметить, что следы плоскости тоже относятся к главным линиям. Горизонтальный след плоскости – это ее нулевая горизонталь, фронтальный след – нулевая фронталь. Следы двух прямых плоскости определяют положение одноименных следов плоскости. Так, на рисунке 29 показана плоскость , заданная двумя пересекающимися прямыми а и в. Точки А и В – фронтальные следы, а точки С и D – горизонтальные следы этих прямых. Тогда фронтальный след плоскости f_0 определяется прямой АВ, а горизонтальный h_0 – прямой СD.

Рис. 28. Горизонталь Рис. 29. Построение

и фронталь плоскости АВС следов плоскости