2.2.2. Виды поверхностей и их проекции

Ранее были рассмотрены особенности отображения точки, прямой и плоскости на комплексном чертеже. Для изображения прямой необходимо выполнить проекции двух ее точек, плоскости – трех точек. Кривые поверхности отображаются на комплексном чертеже в виде проекций:

• каркаса;

• образующей линии, направляющей линии и очерка поверхности;

• направляющей и плоскости параллелизма;

• геометрической части определителя поверхности;

• конечного множества точек, позволяющих аппроксимировать кривую поверхность поверхностью многогранника, вершины которого расположены на поверхности, а гранями являются треугольники, образующие определенную (триангуляционную) сеть.

Каркасом называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае проходит одна линия каркаса.

Кривая поверхность может быть представлена с помощью математической формулы (например, алгебраические выражения второго порядка), тогда координаты линий ее каркаса вычисляют по формуле, а затем вычерчивают их проекции.

Многообразие поверхностей требует их систематизации на основе классификации. Такая систематизация, впрочем, достаточно условна, так как одни и те же поверхности могут быть классифицированы по разным признакам. Например, коническая поверхность вращения относится к линейчатым и поверхностям вращения. Если выделить главные признаки поверхностей, то классификация будет следующей:

• по закону движения образующей различают поверхности с поступательным движением образующей (поверхности параллельного переноса), вращательным и винтовым;

• по виду образующей поверхности бывают линейчатые (с прямолинейной образующей) и нелинейчатые (поверхности с криволинейной образующей);

• по закону изменения формы образующей – поверхности с образующей постоянного или переменного вида;

• по признаку развертывания поверхности на плоскость (возможности совмещения всех точек поверхности с плоскостью) различают развертываемые и неразвертываемые поверхности;

• по дифференциальным свойствам – гладкие и негладкие поверхности.

Рассмотрим некоторые из поверхностей, применяемые в различных областях практической деятельности человека, и способы их отображения на комплексном чертеже.

Поверхность параллельного переноса (рис. 30) – это поверхность, каркас которой образуется при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой, т.е. параллельным перемещением образующей (m) по направляющей (n). Линия (m), которая при своем движении образует каркас поверхности, называется образующей, линия (n), которая определяет закон движения образующей в пространстве, называется направляющей. Из рисунка видно, что для поверхности параллельного переноса образующая и направляющая линии взаимозаменяемы, т.е. при движении линии m по линии n или, наоборот, линии n по линии m образуется каркас одной и той же поверхности.

Для отображения такой поверхности на комплексном чертеже необходимо выполнить две проекции образующей и направляющей (кривой или прямой), а затем выполнить проекции каркаса поверхности по следующему алгоритму:

• на направляющей n выбираем ряд точек А, B, C, D, …;

• строим векторы АВ, ВС, ...;

• осуществляем параллельный перенос линии m по векторам АВ, ВС, ... (рис. 30).

Поверхность вращения – это поверхность, каркас которой создается при помощи вращения некоторой линии (образующей m) вокруг оси (прямой i, рис. 31).

П

Рис. 30. Поверхность

параллельного переноса

роекции каркаса поверхности вращения выполняются на комплексном чертеже двумя проекциями направляющей, образующей и очерка поверхности.

Очерком, или очертанием, поверхности называется проекция линии контура поверхности на плоскость проекций (рис. 32).

Рис. 31. Поверхность

вращения

П роекции контурных линий поверхности (линии очерка) называют также линиями види-мости, так как они отделяют ви-димую часть поверхности от скры-той, невидимой на определенной плоскости проекции.

Контур 1 (рис. 32) – это граница зоны видимости при проецировании поверхности на плоскость П₁. На горизонтальной проекции часть поверхности, находящаяся выше этой линии (точка А), будет видимой, а часть поверхности – ниже этой линии (точка G), будет невидимой. При проецировании на фронтальную плоскость границей зоны видимости будет контур 2, часть поверхности, находящаяся перед этой линией (точка С), будет видимой, а часть поверхности, находящаяся за этой линией (точка F), – невидимой.

Каркас поверхности вращения можно также построить, зная определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть его представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), а алгоритмическая – содержит перечень операций, позволяющих создать непрерывный каркас проектируемой поверхности с помощью этих геометрических элементов. Например, сфера однозначно определяется заданием координат ее центра и величиной радиуса – это геометрическая часть определителя, а алгоритмическая часть выражается словами: сфера – это множество точек пространства, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу.

Для любой поверхности вращения, имея проекции геометрической части определителя – проекции образующей (m) и проекции оси вращения (i), алгоритм построения каркаса поверхности будет следующим (рис. 31):

• на образующей т выделяют ряд точек А, B, С,..., F;

• каждую выделенную точку вращают вокруг оси i.

Каркас поверхности представляет собой множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения (i). Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель – горло, наибольшая – экватор.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

• плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – по параллели;

• плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – по меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Приведем несколько примеров поверхностей вращения.

Параболоид вращения – каркас образуется при вращении параболы (m) вокруг своей оси симметрии (i) (рис. 33). Гиперболоид вращения – различают однополостный (рис. 34) и двухполостный (рис. 35) гиперболоиды вращения. Каркас первого получается при вращении вокруг мнимой оси (i), а второго – вращением гиперболы вокруг действительной оси (i).

Винтовая поверхность – это поверхность, каркас которой образован винтовым движением некоторой линии. Движение линии называется винтовым, если каждая точка этой линии описывает цилиндрическую винтовую линию. Таким образом, на винтовой поверхности два семейства линий составляют ее сетчатый каркас: семейство образующих и семейство линий хода (винтовых параллелей).

О пределитель винтовой поверхности можно представить следующим образом:

• геометрическая часть такого определителя состоит из двух линий: образующей (m) и оси (j) (рис. 36);

• а

  Рис. 33. Параболоид

  вращения

  лгоритмическая часть пред-полагает последовательность действий: 1) на образующей (m) выделяют ряд точек (А, В,...); 2) строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются обозначенные точки.

Е

Рис. 34. Однополостной

гиперболоид вращения

сли при своем движении образующая пересекает ось винтового движения, то поверхность называется закрытой, в противном случае – открытой.

Е

Рис. 35. Двуполостной

гиперболоид вращения

сли образующая – прямая линия, то винтовая поверхность называется геликоидом. Он бывает прямым, если образующая перпендикулярна оси винтовой линии, в противном случае – наклонным. Закрытый наклонный геликоид называется архимедовым, так как его сечением плоскостью, перпендикулярной оси винтового движения, является кривая, называемая спиралью Архимеда.

Р

Рисунок 36 – Прямой

закрытый геликоид

Рис. 36. Прямой

закрытый геликоид

ассмотрим простейшую винтовую поверхность (рис. 36) – прямой закрытый геликоид (Ф), образованный винтовым движением прямой (l), пересекающей под прямым углом ось (j) винтового движения. Условие перпендикулярности прямой (l) оси (j) эквивалентно условию параллельности образующих плоскости проекций П₁, перпендикулярной оси (j). На чертеже фронтальная проекция образующей (l) параллельна оси Ох. Поверхность прямого геликоида на чертеже удобно задавать проекциями направляющей m (m и m ). Определитель прямого геликоида записывается так: Ф (j, m, П₁). Каркас геликоида состоит из образующих, параллельных плоскости П₁, пересекающих ось (j) и винтовую линию (m).

З

Рис. 37. Коническая

поверхность

Рис. 38. Цилиндрическая

поверхность

десь же (рис. 36) показано построение фронтальной проекции (А) точки (А), принадлежащей поверхности геликоида (Ф), по заданной ее горизонтальной проекции (А). Для этого через эту точку (А) проведена образующая (l) данной поверхнос- ти (Ф).

Линейчатая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением прямой линии по заданному закону.

Рассмотрим некоторые из многообразия линейчатых поверхностей.

К онические и цилиндрические поверхности. Каркас конической поверхности общего вида образуется движением прямой (образующей l), проходящей через фиксированную точку S (вершину) и пересекающей направляющую кривую а (рис. 37).

Коническая поверхность с несобственной вершиной S^∞(s) (удаленной в бесконечность) называется цилиндрической (рис. 38). Ее образующие пересекают направляющую а и параллельны направлению проецирования (s).

Поверхности Каталана – линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Каркас поверх-

ности с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых-образующих (a, b, c, d, e, f), параллельных некоторой плоскости параллелизма () и пересекающих две направляющие (m, n, рис. 39).

В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида простейших линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая (прямая) параллельна плоскости параллелизма во всех ее положениях (рис. 40). Плоскостью параллелизма является в данном случае профильная плоскость проекций; образующей – прямая (l), параллельная плоскости параллелизма; направляющими  плоская кривая (m) и пространственная кривая (n).

Гиперболический параболоид, или косая плоскость, – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рис. 41).

Коноид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим: одна из них – кривая, а другая – прямая; при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рис. 42).

Циклическая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением окружности постоянного (рис. 43) или переменного (рис. 44) радиуса по произвольной линии. Каркас циклической поверхности определяется законом движения образующей и законом изменения ее радиуса.

Г еометрическая часть определителя циклической поверхности может быть задана проекциями трех направляющих (l, m, n) и оси (i), вокруг которой вращаются плоскости (, ), определяющие положение образующей в каждый из моментов. Алгоритмическая часть определителя описывается так: выделяется плоскость (); находятся точки (А_, В_, С_), в которых эта плоскость () пересекает направляющие (l, m, n); строится окружность по трем найденным точкам. Затем выделяется следующая плоскость (), и построение повторяется (рис. 43).

Поверхность с образующей переменного вида. Рассматриваемые выше поверхности имели каркасы, состоящие из образующих постоянного вида (прямых или кривых). Но существуют поверхности, каркасы которых образуются движением плоских кривых переменной формы, например труба, образующими которой являются непересекающиеся кривые различного вида, а направляющей – кривая Безье.

Д

Рис. 44. Циклическая поверхность:

а) аксонометрия,

б) ортогональные проекции

ля таких поверхностей нет общепринятых названий. Иногда их называют поверхностями зависимых сечений, иногда – сложными или непрерывно-топографическими. К со-жалению, эти названия не раскрывают всей сущности данных поверхностей в силу их большого многообразия в природе и технике.

Определители таких поверхностей должны содержать несколько компонентов:

• исходную образующую;

• условия, задающие однопараметрическое множество плоских образующих в пространстве (наличие плоскости параллелизма, оси пучка, условие перпендикулярности какой-либо пространственной кривой и т.д.;

• условия, задающие законы изменения параметров образующей в процессе ее движения (направляющие линии для ее характерных точек, графики изменения некоторых параметров и т.д.).

В общем случае образование каркаса поверхности сводится к движению образующей линии по некоторой другой линии – направляющей. Образующая и направляющая могут быть как прямыми, так и кривыми. Построение проекции каркаса поверхности сводится к построению проекций прямых или кривых.

Выше были рассмотрены вопросы, связанные с проецированием прямых линий. Необходимо рассмотреть особенности проецирования кривых линий.

Кривые линии подразделяются на плоские и пространственные. Кривые, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими. Плоскую кривую можно рассматривать как траекторию движения точки в плоскости.

Пространственная кривая, как и плоская, на чертеже отображается с помощью проекций последовательного ряда точек. Для построения проекций точек используются:

• таблицы, включающие координаты точек;

• уравнения (алгебраические или трансцендентные).

Свойства ортогональных проекций кривой линии:

• проекцией кривой в общем случае является кривая;

• касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции;

• порядок линии – проекции алгебраической кривой – равен порядку самой кривой (или меньше);

• число узловых точек проекции (в которых она пересекает сама себя) равно числу узловых точек самой кривой.

Кривые линии повсеместно встречаются в окружающем нас мире. Это – траектория движения объектов, очертания инженерных конструкций и деталей машин, границы и результаты пересечения поверхностей, графическое выражение функциональных зависимостей, характеризующих изучаемые процессы и явления и др.

На рисунках 45–52 приведены примеры плоских и пространственных кривых линий и математические формулы, описывающие их.

Эллипс (рис. 45) – это геометрическое место точек (А, С, М, В, D и др.), сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами (F₁ и F₂), остается постоянной, равной большой оси, т.е. MF₁ + MF₂ = 2а. Расстояние от центра эллипса (О) до фокуса удовлетворяет условию CF₁= CF₂ = а, а СО равно половине малой оси эллипса. Частным случаем эллипса является окружность. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

П арабола (рис. 46) – это геометрическое место точек (А, М и др.), равноудаленных от фокуса (F) и от директрисы (ON), т.е. MF = MN – const. Каноническое уравнение параболы имеет вид:

у² = 2рх.

Г

Рис. 45. Эллипс

ипербола (рис. 47) – это геометрическое место точек (М и др.), разность расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами (F₁ и F₂), есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы, т.е. MF₁ – MF₂ = = 2а, где а – const. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

С инусоида (рис. 48) – геометрическое место точек, отражающее функциональную зависимость изменения синуса угла от изменения величины угла. Синусоида получается в результате равномерного двойного движения точки, поступательного вдоль оси х и возвратно-поступа-тельного вдоль оси у. Длина волны синусоиды – Т = 2r, где r – радиус единичной окружности (r = 1). Уравнение синусоиды имеет вид:

y = sin x.

Циклоида (рис. 49) – геометрическое место точек, образованное движением точки (М), принадлежащей окружности (2r), катящейся без скольжения по прямой линии (оси х). Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности. Натуральное уравнение обыкновенной циклоиды в пределах одной арки имеет вид:

R ² + (s – 4r)² = 4r²,

где s – длина дуги циклоиды (0 < s < 2r).

К

Рис. 48. Синусоида

лассическими примерами пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Ц

Рис. 49. Циклоида

Рис. 50. Цилиндрическая

винтовая линия (правая)

илиндрическая винтовая линия (рис. 50) – это геометрическое место точек, образованное движением точки (М) по какой-либо образующей (АВ) прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, проходимый этой точкой по образующей, пропорционален углу поворота цилиндра (). Смещение точки вдоль образующей за один оборот называется шагом цилиндрической винтовой линии (Н). Касательная к винтовой линии образует с горизонтальной плоскостью угол ( – const), называемый углом подъема винтовой линии. Развертка цилиндрической винтовой линии представляет собой прямоуголь- ный треугольник CDE, в котором СD = 2R; DE = Н, а угол DCE = . Различают правую и левую винтовые линии.

Коническая винтовая линия (рис. 51) – геометрическое место точек, образованное движением точки (М) по какой-либо образующей (АS) прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, пройденный этой точкой по образующей, все время пропорционален углу поворота конуса (). Проекция смещения точки вдоль образующей за один оборот на ось конуса называется шагом конической винтовой линии (Н).

Г оризонтальной проекцией ко-нической винтовой линии является спираль Архимеда, если величина шага постоянная. В том случае, когда величина шага меняется, спираль называется логарифмической.

Параметрические кубические сплайны известны под названием «сплайны Безье» и могут быть описаны уравнением следующего вида:

у = ах³ + bх² + сх + d.

В

Рис. 51. Коническая

винтовая линия

ычисление координат точек кривой третьего порядка – процесс трудоемкий и сложный. Образование сплайнов графическим способом можно пояснить на простом примере (рис. 52а). Отрезок между двумя точками кривой задается двумя контрольными точками С₀ и С₁, которые вместе с опорными точками Р₀ и Р₁ (через которые проходит кривая) образуют касательные векторы С₀Р₀ и С₁Р₁.

Как и любой другой вектор, касательные векторы можно задать не двумя точками, а длиной и направлением (единичным вектором, выходящим из опорных точек Р₀ и Р₁). Таким образом, касательные векторы задаются касательными направлениями (D₀ и D₁) и длинами (М₀ и М₁).

И

Рис. 52. Примеры

построения сплайнов

зменяя длины касательных векторов, можно менять конфигурацию кривой. Увеличение длины только одного касательного вектора заставит кривую дольше следовать касательному направлению (рис. 52б).

Изменяя направления и длины касательных векторов, можно полностью контролировать форму получаемой кривой, включая переломы на точках кривой. Эта позволяет описывать любые кривые линии и дуги.

При образовании поверхностей кубические сплайны могут выполнять роль как образующих, так и направляющих.