2.2.4. Позиционные и метрические задачи

Позиционные задачи. К ним относятся задачи, решения которых позволяют определить взаимное расположение геометрических объектов.

Все многообразие позиционных задач может быть отнесено к трем группам:

• задачи на построение линии пересечения поверхностей;

• задачи на определение точек пересечения линии с поверхностью;

• задачи на принадлежность точки линии или поверхности.

Решение этих задач сводится к установлению принадлежности проекции некоторой точки проекции линии. Далее в соответствии со свойством ортогонального проецирования: если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой – устанавливаем принадлежность точки линии, поверхности или двум поверхностям одновременно (линии пересечения).

В

Рис. 65. Взаимное

расположение точки и прямой

заимное расположение точки и прямой. Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой (на основе свойства ортогонального проецирования). Из че-тырех предложенных на рисунке 65 точек только одна точка С лежит на прямой АВ.

В

Рис. 66. Точка,

принадлежащая плоскости

заимное расположение точки и плоскости. Если точка принадлежит плоскости, то произвольно задать можно только одну любую проекцию точки. Рассмотрим пример построения проекции точки А, принадлежащей плоскости общего положения, заданной двумя параллельными прямыми  (nk) (рис. 66). Для этого произвольно зададим проекцию точки А на плоскость П₂. Через точку А проведем проекцию прямой m, пересекающую прямые n и k в точках С и В (С  , В    m  ). Построив проекции точек С и В, определяющие положение m, находим горизонтальную проекцию точки А (А  m, m    А).

Т очка и линия, принадлежащие поверхности. Принадлежность точки поверхности представлена на рисунке 67. Поверхность (Ф) задана семейством линий (l₁, 1₂, 1₃, l₄); точка 1 l₁ (1l₁), точка 21₂ (2l₂), точка 3l₃ (3l₃), точка 4l₄ (4 l₄), следовательно, прямая mФ (mФ), а так как точка Кm (Кm), то точка KФ (КФ).

Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны три случая:

• п

  Рис. 67. Точка и линия,

  принадлежащие поверхности

  рямая принадлежит плоскости;

• прямая параллельна плоскости;

• п рямая пересекает плоскость.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат той же плоскости. На рисунке 68а плоскость задана двумя пересекающимися прямыми n и k (n∩k; n∩k); точки В и С принадлежат этой плоскости (Вn и С k, Вn и Сk), но ВСm (ВСm и ВСm), значит и m принадлежит заданной плоскости.

Прямая (n) принадлежит плоскости (mk), если имеет с плоскостью одну общую точку (С) и параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости (nAB), (рис. 68б).

О

Рис. 68. Прямая,

принадлежащая плоскости,

заданной прямыми:

а) пересекающимися;

б) параллельными

чевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Для того чтобы определить взаимное расположение прямой (а) и плоскости (), через прямую (а) необходимо провести вспомогательную секущую плоскость () и установить относительное положение двух прямых (а и в), последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости () и данной плоскости () (рис. 69, 70а, б).

Е сли обе прямые совпадают, то прямая лежит в заданной плоскости.

Параллельность прямых укажет на параллельность прямой и заданной плоскости.

П

Рис. 69. Взаимное

расположение прямой

и плоскости

ри решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости (рис. 69).

Проекция прямой на горизонтальную плоскость проекций b совпадает с проекцией а и со следом дополнительной плоскости . Проекция прямой b параллельна a, следовательно, прямая а параллельна плоскости  (BCD).

Пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая пересекает заданную плоскость (a пересекает  в точке К, см. рис. 70).

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой и плоскости на эпюре (рис. 70б). Дана плоскость  (BCD) и прямая а. Необходимо найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.

1. Через горизонтальную проекцию прямой а проводится горизонтальный след вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости , тогда а  .

2. Горизонтальный след плоскости  пересекает проекцию плоскости  (BCD) в точках 1 и 2. Для нахождения фронтальной проекции точек 1 и 2 проводятся линии связи до пересечения с одноименными сторонами BCD.

3. Прямые а и 1-2 лежат в одной вспомогательной плоскости  и не параллельны, а на фронтальной проекции наглядно видна точка их пересечения К.

4. Фронтальная проекция линии пересечения плоскостей 1-2 пересекает фронтальную проекцию а в точке К, которая и является фронтальной проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью  (BCD), с помощью линии связи находим горизонтальную проекцию К.

5. Методом конкурирующих точек определяется видимость прямой а по отношению к плоскости  (BCD). Конкурирующими точками являются точки 3 и 4 (они имеют одинаковое значение координаты z). Точка 3 находится ближе к наблюдателю и дальше от плоскости проекций П₂, следовательно, на фронтальной проекции 3 перекрывает 4, а К3 будет невидима, так как 4  а.

Рис. 70. Прямая пересекает плоскость:

а) рисунок; б) эпюр

Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций. В общем случае справедливо и обратное утверждение. Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, если фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, то для оценки их взаимного положения необходимо построить проекцию на профильной плоскости проекций (рис. 71). В рассмотренном случае проекции отрезков АВ  CD; АВ  CD; но АВ пересекает CD, следовательно, прямые не параллельны.

П

Рис. 71. Прямые,

параллельные профильной

плоскости проекций

ересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии связи (рис. 72). В общем случае справедливо и обратное утверждение. Но иногда по двум проекциям невозможно судить о взаимном расположении прямых. Например, если одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций (рис. 73). На рисунке видно, что горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и CD пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи. Профильные проекции этих отрезков не пересекаются, следовательно, не пересекаются и сами отрезки в пространстве. Такие прямые называются скрещивающимися.

Рис. 72. Пересекающиеся прямые:

а) рисунок; б) эпюр

В случае, когда пересекающиеся прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 74), о взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции.

С

Рис. 73. Скрещивающиеся прямые

(СD – параллельна профильной

плоскости проекций)

Рис. 74. Прямые расположены

во фронтально-проецирующей

плоскости

крещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются и не параллельны между собой, точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи (рис. 75). Фронтальные проекции прямых пересекаются в одной точке, а в пространстве такой точке соответствуют две точки (А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая – b). Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки (А и В) находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. В данном случае ближе расположена точка В, лежащая на прямой b, следовательно, прямая b проходит в этом месте ближе прямой а, и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А.

Пересечение прямой с поверхностью второго порядка строится в общем случае по алгоритму:

1. П

   Рис. 75. Скрещивающиеся

   прямые

   рямая заключается в некоторую вспомогательную плоскость.

2. Строится линия пересечения данной поверхности (конуса) и вспомогательной плоскости.

3. Определяется искомая точка пересечения заданной линии и полученной линии, при этом надо помнить, что точка может быть не единственная.

В качестве вспомогательной плоскости целесообразно использовать такую, при пересечении которой с заданной поверхностью образуются простейшие линии (прямые или окружности). На рисунке 76 в качестве вспомогательной секущей плоскости выбрана плоскость (), проходящая через вершину конуса (S) и включающая заданную прямую (l). Если же взять горизонтально проецирующую плоскость, то в сечении получится соответственно гипербола, что значительно усложняет задачу построения.

Применим алгоритм решения подобных задач к данному случаю.

Заключаем прямую l в плоскость , проходящую через вершину конуса S. Плоскость  задана пересекающимися прямыми SG и SB:  (SG, SB); точка В=SА∩ Ох. Точки G и А принадлежат прямой l (Gl, Аl).

Определяем горизонтальный след  (SG, SB), который пересекает основание конуса по прямой DF. Отмечаем точки D и F, затем выполняем проекции D и F.

Строим горизонтальные проекции образующих конуса (SD и SF), по которым он пересекается с плоскостью .

Рис. 76. Пересечение прямой линии с конусом

Определяем горизонтальные проекции искомых точек пересечения К и М. Зная положение К и М, определяем К и М как принадлежащие прямой линии l.

Так как полученный треугольник FDS и прямая l лежат в одной плоскости , точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой l с конусом. Видимость определяется с помощью конкурирующих точек.

В заимное положение двух плоскостей. Две плоскости в пространстве могут либо быть параллельны, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

П

Рис. 77. Параллельные

плоскости

лоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые (m, n) одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым (АС, СВ) другой плоскости (рис. 77).

Построение линии пересечения поверхностей. Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Для определения положения этих точек часто применяется метод вспомогательных секущих поверхностей-посредников.

В качестве поверхностей-посредников применяют плоскости, сферы, конусы и др. Положение секущих поверхностей-посредников выбирается так, чтобы они, пересекаясь с заданными поверхностями, давали простые для построения линии (прямые и окружности). При пересечении прямого кругового цилиндра, конуса, сферы в качестве вспомогательных секущих поверхностей применяют проецирующие плоскости, параллельные одной из плоскостей проекции – плоскости уровня.

Линии пересечения двух поверхностей имеют характерные (опорные) точки, с которых рекомендуется начинать построение. К таким точкам относятся: экстремальные точки – верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей, точки границы зоны видимости и т.д.

Метод вспомогательных секущих плоскостей. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две ее точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Рассмотрим общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения  и  (рис. 78), которые пересекают вспомогательные секущие плоскости уровня (плоскости, параллельные горизонтальной плоскости проекции  и ). Линии пересечения заданных плоскостей ( и ) с плоскостями вспомогательными ( и ) – прямые линии (а_, а_, b_, b_), которые пересекаются в точках (А и В), принадлежащих трем плоскостям (А  , , ; В  , , ). Таким образом, эти точки (А и В) являются общими для заданных плоскостей ( и ), прямая (АВ), проведенная через эти точки, и будет линией их пересечения.

Н а рисунке 79 показано построение линии пересечения плоскостей  (mn) и  (АВС).

П

Рис. 78. Общий случай

нахождения линии

пересечения плоскостей

Рис. 79. Построение линии

пересечения плоскостей на эпюре

о аналогии с предыдущей задачей, для нахождения линии пересечения данных плоскостей проводятся вспомогательные секущие плоскости  и . Находятся проекции линий пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость  пересекает плоскость  по прямой 3-4, а плоскость  – по прямой 7-8. Точка М (точка пересечения этих прямых) одновременно принадлежит трем плоскостям ,  и , являясь точкой, принадлежащей линии пересечения плоскостей  и . Плоскость  пересекает плоскости  и  по прямым 1-2 и 5-6 соответственно. Точка их пересечения (К) расположена одновременно в трех плоскостях (, , ) и принадлежит прямой линии пересечения заданных плоскостей ( и ). Таким образом, найдя две точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей  и  (точки К и М), проводим через них прямую (КМ).

Видимость определяется методом конкурирующих точек.

Построение линии пересечения плоскостей можно несколько упростить, если задать вспомогательные проецирующие секущие плоскости через прямые, определяющие плоскость.

Метрические задачи. Метрическими называются задачи, решения которых позволяют определить значения различных величин: величину угла, расстояния между точками, площадь сечения, построение угла и отрезка с заданными значениями градусной или линейной величины и др.

При ортогональном проецировании геометрические объекты, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости с искажением их метрических характеристик. В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство ортогонального проецирования: плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

В задачах на построение проекции прямого угла используется теорема: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекции, а вторая не перпендикулярна ей, то такой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

П рямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых чаще всего выбирают горизонталь и фронталь плоскости (рис. 80), так как они проецируются в натуральную величину на соот-ветствующие плоскости проекции (h П₁, а f П₂, следовательно, h и f  натуральные величины).

Н

Рис. 80. Прямая,

перпендикулярная плоскости

а чертеже: прямая перпендикулярна плоскости, когда горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали этой плоскости (ah, а f ).

Д

Рис. 81. Взаимно

перпендикулярные плоскости

ве плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, чтобы построить плоскость  (n ∩ m), перпендикулярную заданной плоскости  (h ∩ f), необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости (построение прямой а к плоскости DBC дано на рисунке 80), и через эту прямую провести искомую плоскость (рис. 81).

П

Рис. 82. Определение

расстояния от точки до прямой:

а) прямая проецирующая;

б) прямая уровня

ри решении метрических за-дач, связанных с определением ис-тинных размеров, изображенных на эпюре геометрических объектов, мо-гут встретиться значительные труд-ности, если заданные проекции не под-вергнуть специальным преобразова-ниям. Рассмотрим на примере (рис. 82). Необходимо определить расстояние от точки (А) до прямой (m). Искомый от-резок должен быть перпендикулярен этой прямой. В этих двух случаях прямая m П₂, значит на эту плос-кость угол будет проецироваться без искажения (теорема о проециро-

вании прямого угла). Но так как в первом случае (рис. 82а) m  П₁, то отрезок АК  m проецируется на плоскость П₁ в натуральную величину. А во втором случае (рис. 82б) удалось построить только проекцию искомого отрезка.

Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения взаимного положения проецируемого отрезка и системы координат.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями.

1. Перемещение в пространстве проецируемого объекта так, чтобы он занял определенное положение относительно плоскостей проекции: параллельное или перпендикулярное искомому объекту. Это метод плоскопараллельного перемещения или вращения.

2. Проецирование геометрического объекта на дополнительную (или дополнительные) плоскость проекций, которая по отношению к нему занимает частное положение (параллельное или перпендикулярное искомому объекту). Это метод замены плоскостей проекции.

Метод плоскопараллельного перемещения. Изменить взаимное положение проецируемого объекта и плоскостей проекции можно, переместив геометрический объект так, чтобы он занял по отношению к плоскости проекции частное положение (например, перпендикулярное). При этом траектория движения точек объекта – произвольная линия – находится в параллельных плоскостях, которые, в свою очередь, параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 83). Проекция плоской фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной своей проекции в исходном положении.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

• п ри всяком перемещении точек в плоскости, парал-лельной плоскости П₁, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х (рис. 84);

• в

  Рис. 83. Метод

  плоскопараллельного

  перемещения

  случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной П₂, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х.

Т раектории перемещения точек отрезка АВ параллельны плоскости проекций (П₁, рис. 84).

В зависимости от положения плоскостей перемещения по отношению к плоскостям проекции и вида кривой, определяющей траекторию перемещения точек, можно выделить следующие частные случаи метода плоскопараллельного перемещения:

• в

  Рис. 84. Определение

  натуральной величины отрезка

  прямой способом

  плоскопараллельного

  перемещения

  ращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций;

• вращение вокруг оси, параллельной одной из плоскостей проекций, но не перпендикулярной другим плос-костям проекций;

• вращение вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости), – способ совмещения.

Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. Траекторией движения геометрического объекта является дуга окружности, центр которой находится на оси, перпендикулярной этой же плоскости проекций. Рассмотрим на примере (рис. 85): для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ выберем ось вращения, перпендикулярную горизонтальной плоскости проекции и проходящую через конец отрезка, точку В. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси х, так как у_А = у_В). При этом точка В не изменяет своего положения, а точка А переместится в другое положение, при котором отрезок станет параллелен фронтальной плоскости проекции. Соответственно изменятся горизонтальная и фронтальная проекции точки А: В'А'₁ параллельна х, а длина полученной фронтальной проекции В''А''₁ определяет действительные размеры отрезка.

Метод замены плоскостей проекций. Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций достигается путем замены плоскости П₂ (П₁ или П₃) другой плоскостью – П₄ (рис. 86).

Рис. 85. Вращение отрезка

вокруг оси,

перпендикулярной

горизонтальной плоскости проекций

Рис. 86. Определение

натуральной величины

отрезка прямой методом

замены плоскостей

проекций

Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой осуществляется с учетом следующего правила: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Рассмотрим на примере: необходимо определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 86).

Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П₄, параллельную отрезку АВ и перпендикулярную плоскости П₁. Система плоскостей П₁/П₂ заменена системой П₁/П₄, х₁₄А'В'; расстояние от новой оси (П₁/П₄) до А'''' равно расстоянию от заменяемой плоскости (на чертеже от оси Ох) до А''; соответственно для точки В''''. В новой системе плоскостей проекция отрезка А''''В'''' равна натуральной величине отрезка АВ.

Задачу можно решить относительно фронтальной проекции отрезка АВ, т.е. П₄  П₂ и параллельна АВ (на чертеже х₁₄ будет параллельна А''В'').

Угол наклона А''''В'''' к оси Ох₁₄ () равен углу наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции. Аналогично можно найти величину отрезка АВ, если П₄ будет  П₂. В этом случае на эту плоскость спроецируется в натуральную величину угол наклона прямой АВ к П₂, обозначаемый обычно .