3.4. Пример выполнения лабораторной работы
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Ижевский Государственный Технический университет
Кафедра «Вычислительная техника»
Отчет
по лабораторной работе №3
по дисциплине Теория цифровой обработки сигналов
на тему «Дискретные линейные системы с постоянными параметрами»
Выполнила: студент гр. 8-78-1
Самарова М. В.
Короткова Ю.А.
Проверил: Гитлин В. Б.
Ижевск, 2012
Цель работы: Овладеть навыком работы с цифровыми сигналами. Исследовать АЧХ фильтра нижних частот Баттерворта, исследовать АЧХ полосового фильтра Баттерворта, исследовать АЧХ цифрового фильтра
Ход выполнения работы
Представление линейных систем с постоянными параметрами
Дискретную систему можно рассматривать, как алгоритм преобразования одной последовательности (называемой входной) в другую (называемую выходной). Простое представление дискретной системы дано на рисунке 1. Входная последовательность обозначена через x(n), а выходная — через y(n). Функционально они связаны соотношением
(1)
где вид оператора зависит от свойств конкретной системы.
Рисунок 1 – представление дискретной системы
Линейная система представляется следующим образом. Если x1(n) и x2(n) — некоторые входные последовательности, а y1(n) и y2(n) — соответствующие им отклики линейной системы, то при подаче на вход последовательности ax1(n)+bx2(n) на выходе образуется последовательность ay1(n)+by2(n) (a и b ‑ произвольные постоянные).
Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что если входной последовательности x(n) соответствует выходная последовательность y(n), то входной последовательности x(n-n0) при любых n0 соответствует на выходе последовательность y(n-n0).
В ЛПП — системе входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свертки. Если x(n) — входная последовательность, y(n) ‑ выходная последовательности ЛПП — системы, а h(n) ‑ отклик на единичный импульс (последовательность h(n) называют импульсной характеристикой системы или откликом на единичный отсчет), то можно записать соотношение
(2)
Простой заменой переменных равенство (2) может быть преобразовано к виду
(3)
Рисунок 2 – Представление линейной системы с постоянными параметрами во временной области
Таким образом, последовательность h(n) полностью описывает ЛПП — систему, что и отражено на рисунке 2.
Для описания ЛПП‑систем в частотной области (рисунок 3) используют частотную характеристику системы H(ej), которая выражается через импульсную характеристику системы следующим образом:
(4)
Рисунок 3 – Представление ЛПП-системы в частотной области
Во временной области выходная последовательность есть свертка входной последовательности и импульсной характеристики системы. В частотной области спектр выходной последовательности будет соответствовать произведению спектра входной последовательности и частотной характеристики системы.
(5)
Частотная характеристика представляет коэффициент передачи ЛПП ‑ системы для каждого значения частоты .
Экспериментальное представление частотной характеристики фильтра
На практике частотную характеристику цифрового фильтра можно получить разными способами. Рассмотрим два.
Способ 1. Подадим на вход фильтра единичный импульс x(n). На выходе получим сигнал, соответствующий импульсной характеристике фильтра h(n). Найдем спектр амплитуд сигнала h(n). В соответствии с выражением (14), полученный спектр будет соответствовать амплитудно-частотной характеристике исследуемого фильтра. В качестве достоинств данного способа можно отметить низкую трудоемкость и высокую точность измерений. Недостатком способа является невозможность применения способа для сигналов непрерывного времени.
Способ 2. Будем формировать синусоидальные сигналы постоянной амплитуды, но разной частоты. Полученные сигналы подадим на вход исследуемого фильтра. На выходе будем получать сигналы, подобные входным, но с измененной амплитудой. Измерив амплитуду выходного сигнала, можно определить коэффициент передачи фильтра на данной частоте. Пример входного и выходного сигналов показан на рисунке 8. Следует обратить внимание на изменения амплитуды входного сигнала в начальные моменты времени см. рисунке 8 (нижний график). Подобные изменения связаны с переходными процессами в фильтре. Переходные процессы в выходном сигнале особенно заметны в моменты быстрых изменений входного сигнала. Данный способ трудоемок и дает очень приблизительные сведения об АЧХ фильтра, но обладает существенным преимуществом перед предыдущим. Второй способ применим не только для цифровых, но и для аналоговых систем.
Рисунок 4 – Входное воздействие (вверху) и выходной сигнал (внизу) при определении АЧХ фильтра.
Исследование АЧХ фильтра низких частот Баттерворта.
Формируем с помощью программы SIGNAL единичный импульс (Fоп=10кГц, длительность сигнала 100мс, амплитуда сигнала 1000 отсчетов, длительность импульса 1 отсчет) и сохраняем в файле «imp.dat». Запускаем программу фильтрации FILTR_LO.EXE. Задаем частоту среза фильтра равной 1000Гц. Пропускаем сигнал из файла «imp.dat» через ФНЧ с частотой среза 200Гц. Результирующие файлы будут содержать импульсные характеристики ФНЧ Баттерворта с частотами среза 1000Гц и 200Гц соответственно.
Рисунок 5 – Исходный единичный импульс
Рисунок 6 - Импульсные характеристики ФНЧ Баттерворта с частотами среза 200Гц (вверху) и 1000Гц (внизу)
С помощью программы SIGNAL строим спектры полученных импульсных характеристик. Измерьте частоты среза фильтров на уровне -3дБ.
Рисунок 7 – Спектры импульсных характеристик
Исследование АЧХ полосового фильтра Баттерворта
Повторяем действия из п. 2.2. для полосового фильтра (программа BAND_FL.EXE). Для первого фильтра задаем полосу частот 2000 ‑ 2500Гц, а для второго — 1000 ‑ 3000Гц.
Рисунок 8 - Импульсные характеристики полосового фильтра Баттерворта с полосой частот 2000-2500Гц (вверху) и 1000-3000Гц (внизу)
С помощью программы SIGNAL строим спектры полученных импульсных характеристик.
Рисунок 9 – Спектры импульсных характеристик
Исследование АЧХ цифрового фильтра
В программе Signal формируем синусоидальные последовательности с частотой опроса 10000Гц, амплитудой 20000 уровней квантования длительностью 1000 отсчетов и с частотами, соответствующими табл. 1.
Рисунок 10 – Синусоидальная последовательность с частотой повторения сигнала 200Гц
Подаем сигнал на вход фильтра нижних частот с частотой среза 200Гц
Рисунок 11 – сигнал, поданный на вход фильтра нижних частот с частотой среза 200Гц
Аналогично для остальных частот из таблицы 1.
Подаем сигнал на вход полосового фильтра.
Рисунок 12 - Синусоидальная последовательность с частотой повторения сигнала 500Гц
Рисунок 13 - сигнал, поданный на вход полосового фильтра с Fн=1000Гц, Fв=2000Гц
Аналогично для остальных частот из таблицы 1.
Таблица 1 – Исследование АЧХ цифровых фильтров
Фильтр верхних частот Fср=1000Гц |
Полосовой фильтр Fн=1000Гц, Fв=2000Гц |
||||
F1, Гц |
А1, ур. квант. |
L1=20LgA1, дБ |
F2, Гц |
A2, ур. квант. |
L2=20LgA2, дБ |
200 |
19603 |
85,846 |
500 |
1 |
0 |
500 |
19960 |
86,003 |
900 |
2420 |
67,676 |
800 |
19770 |
85,920 |
1000 |
13450 |
82,574 |
900 |
18302 |
85,249 |
1100 |
19901 |
85,977 |
1000 |
13450 |
82,574 |
1500 |
19986 |
86,014 |
1100 |
8056 |
78,122 |
1900 |
19477 |
85,790 |
1500 |
547 |
54,759 |
2000 |
13450 |
82,574 |
2000 |
28 |
28,943 |
2100 |
5309 |
74,500 |
3000 |
0 |
|
2500 |
110 |
40,827 |
|
|
|
3000 |
3 |
9,542 |
Средствами программы Excel строим графики зависимости величин A1, A2, L1 и L2 от частоты.
Рисунок 14 – Зависимость А1 от F1
Рисунок 15 – зависимость L1 от F1
Рисунок 16 – Зависимость А2 от F2
Рисунок 17 – зависимость L2 от F2
Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы я овладела некоторыми навыками работы с цифровыми сигналами. Исследовала АЧХ фильтра низких частот Баттерворта, полосового фильтра Баттерворта. Также исследовала АЧХ цифровых фильтров, в результате чего средствами программы Excel были построены графики зависимости величин A1, A2, L1 и L2 от частоты.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ