1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для несовместных событий выполняется теорема:

.

Вероятность события , найденная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью и обозначается .

Для произведения событий выполняется теорема:

.

События и называются независимыми, если появление или не появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий выполняется теорема:

.

Задача 3. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение некоторого времени равна , второго - . Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков в течение указанного промежутка времени? Какова вероятность бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение времени ?

Решение.

Пусть событие - бесперебойная работа первого станка в течение времени , событие - бесперебойная работа второго станка в течение времени , событие - бесперебойная работа обоих станков в течение времени , событие - бесперебойная работа хотя бы одного из двух станков в течение указанного времени.

Тогда , , , .

Вероятность события можно найти по-другому.

, .

Задача 4. В урне 6 чёрных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно вынимают три шара. Найти вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй – красным и третий – белым.

Решение.

Пусть событие - первый вынутый шар чёрный, событие - второй шар красный, событие - третий шар белый и событие - шары вынуты в последовательности чёрный, красный, белый.

Тогда , .

1.3. Полная вероятность. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только при появлении одного из взаимно исключающих друг друга событий (гипотез) .

В этом случае вероятность события находят по формуле полной вероятности:

.

Если до испытания вероятности гипотез были , ,…, , то после проведения испытания, в результате которого появилось событие , вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса:

.

Задача 5. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 чёрных, во второй – 5 белых и 4 чёрных, в третьей – 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй урны.

Решение.

а) Пусть событие - извлечён белый шар. Рассмотрим три гипотезы: - выбрана первая урна, - выбрана вторая урна, - выбрана третья урна.

По формуле полной вероятности получим:

.

б) Для определения вероятности того, что белый шар извлечён из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:

.

1.4. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, какое именно – заранее неизвестно.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счётное число значений.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принять любое значение из некоторого числового промежутка.

Величина , число появлений решки при трёх бросаниях монеты, является дискретной случайной величиной, так как она принимает всего четыре значения:

, , , .

Величина , размер одной и той же детали, определяемые разными людьми, является непрерывной случайной величиной.

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называется функция, позволяющая находить вероятность каждого значения этой величины. Эта функция задаются таблицей.

Задача 6. Найти закон распределения числа появлений решки при трёх бросаниях монеты.

Решение.

Вероятность появления решки при бросании монеты равна .

Тогда

,

,

,

.

Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3

Примеры распределения дискретных случайных величин:

а) геометрическое распределение –

	1	2	…	n	…
			…		…

где , , .

б) биноминальное распределение –

	0	1	2	…	k	…	n
				…		…

где , , .

в) распределение Пуассона –

	0	1	2	…	k	…	n
				…		…

где , , .