2.2 Характеристики вариационного ряда

Пусть дан дискретный вариационный ряд:

			…
			…

Тогда среднее арифметическое вычисляют по формуле:

.

Также вычисляют среднее арифметическое для интервального ряда. За значение берут середину -го интервала.

Если элементы выборки расположены в порядке возрастания, то медиана – это число, которое делит выборку пополам. Пусть объём выборки равен , тогда медиана . Если объём выборки равен , то .

Мода – это измерение, которое встречается наиболее часто и обозначается .

Стандартное отклонение для дискретного ряда вычисляют по формуле:

, где - объём выборки.

Выполняется следующее равенство:

.

Задача 8. В задаче 7 найти среднее арифметическое, медиану, моду и стандартное отклонение.

Решение.

2.3. Точечные оценки параметров распределения

Точечной оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности

называется функция измерений выборки, дающая приближённое значение этого параметра.

Оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое

выборки .

Оценкой для дисперсии – квадрат стандартного отклонения .

Оценка называется несмещённой, если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объёма выборки она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

является несмещённой и состоятельной оценкой для математического ожидания.

является несмещённой, но не состоятельной оценкой для дисперсии.

Исправленная оценка является состоятельной.

2.4. Интервальные оценки параметров распределения

Пусть - неизвестный параметр случайной величины , а - оценка этого параметра. Величина называется точностью оценки. Очевидно, что точность является случайной величиной. Поэтому мы не можем категорически утверждать, что точность меньше некоторого числа . Можно лишь говорить о вероятности , с которой неравенство выполняется. Вероятность называют доверительной вероятностью оценки . Обычно за берут число, близкое к единице (0.9; 0.95; 0.99).

Неравенство равносильно двойному неравенству

.

Интервал называют доверительным интервалом. Он покрывает неизвестный параметр с вероятностью .

Если случайная величина имеет нормальное распределение с известной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием , то доверительный интервал с надёжностью 0.95 имеет вид:

,

где - объём выборки.

Если дисперсия случайной величины неизвестна, то доверительный интервал имеет вид:

,

где - оценка для , - зависит от объёма выборки.

Число можно определить по специальным таблицам. Если , то .

Задача 9. В задаче 7 найти доверительный интервал с надёжностью 0.95 для математического ожидания.

Решение.

2.5. Элементы корреляционного анализа

Пусть совместные измерения , , … , двух величин и лежат на одной прямой . Тогда коэффициенты и можно найти по формулам:

, .

Если совместные измерения не лежат на прямой, то прямая с вычисленными коэффициентами и наилучшим образом описывает измерения. Т.е. принимает наименьшее значение. Эта прямая называется прямой регрессии.

Величина называется выборочным корреляционным моментом, а величина - выборочным коэффициентом корреляции.

Коэффициент выразим через коэффициент корреляции:

.

Если , то совместные измерения лежат на прямой и обратно.

Задача 10. Выборка совместных измерений задана таблицей:

	0.2	0.2	1.4	1.4	1.4	2.6	2.6	3.8	3.8	5	5	6.2	6.2	6.2	7.4	7.4
	0.5	1.3	0.5	1.3	2.1	1.3	2.1	2.1	2.9	2.1	2.9	2.1	2.9	3.7	2.9	3.7
	2	3	3	8	2	9	16	15	10	9	10	3	6	1	1	2

Найти прямую регрессии и изобразить корреляционное поле.

Решение.

Найдём и для выборки :

, .

Найдём и для выборки :

, .

Найдём выборочный корреляционный момент:

.

Найдём выборочный коэффициент корреляции:

.

Найдём коэффициенты прямой регрессии:

,

.

Прямая регрессии имеет вид:

.

Построим поле корреляции и прямую регрессии: