Математическая статистика
Статистическое распределение выборки.
Характеристики вариационного ряда.
Точечные оценки параметров распределения.
Интервальные оценки параметров распределения.
Элементы корреляционного анализа.
Проверка статистических гипотез.
2.1. Статистическое распределение выборки
Пусть - некоторая случайная величина. Все её значения образуют
генеральную совокупность. Выборкой из генеральной совокупности называют множество некоторых значений (измерений) случайной величины, полученные при испытании.
Измерения сначала регистрируют в порядке их поступления. В такой форме полученные данные неудобны для выявления закономерностей. Первичная обработка измерений состоит в записи их по возрастанию, в подсчёте некоторых показателей и в их группировании.
Задача 7. Дана выборка продолжительности работы электронных ламп одного типа (в часах):
13;14;15;15;13;8;14;17;15;16;16;14;16;14;11;16;15;16;14;18;11;13;18;12;17;14;16;13;
15;16;8;14;15;11;10;16;15;16;12;14;17;14;16;17;10;15;18;17;12;20;13;14;15;21;14;17;15;10;
18;17;15;16;17;12;19;8;14
a) упорядочить измерения по возрастанию,
б) найти частоты измерений,
в) найти относительные частоты,
г) сделать группирование измерений.
Решение.
а) 8,8,8,10,10,10,11,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,14,14,14,14,14,14,
14,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,19,20,21
Объём
выборки равен
.
б)
X |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
3 |
3 |
3 |
4 |
5 |
12 |
11 |
11 |
8 |
4 |
1 |
1 |
1 |
- частота измерения .
Сумма всех частот равна объёму выборки:
.
в)
X |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
относительная частота измерения
.
г)
Пусть количество интервалов равно
:
.
Длину интервалов определяют по формуле:
.
Тогда
.
Границы
интервалов определяют по формуле
,
где
.
Тогда
,
,
,
,
,
,
.
интервалы |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
21 |
30 |
5 |
2 |
|
3/67 |
6/67 |
21/67 |
30/67 |
5/67 |
2/67 |
|
0.017 |
0.034 |
0.121 |
0.172 |
0.029 |
0.011 |
- частота,
-
относительная частота,
-
относительная
плотность распределения.
Первую и вторую таблицу называют дискретными вариационными рядами.
Третью таблицу – интервальным вариационным рядом.
Вариационные ряды можно представить графически.
Графическое представление дискретного вариационного ряда называют полигоном.
Для построения полигона в системе координат на горизонтальной оси откладывают измерения, а на вертикальной – частоты или относительные частоты:
Для изображения интервальных рядов используют гистограмму.
Для построения гистограммы на горизонтальной оси откладывают интервалы, а на вертикальной оси – частоты или относительные частоты или относительные плотности распределения. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат интервалы на оси абсцисс, а высотами - частоты или относительные частоты или относительные плотности распределения:
