2.6. Проверка статистических гипотез

Выборку измерений часто используют для проверки гипотез относительно либо вида распределения генеральной совокупности, либо характеристик уже известного распределения.

Выдвигаемую и проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают её через . Наряду с гипотезой рассматривают также одну из конкурирующих гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве характеристики некоторому заданному значению , то есть , то в качестве конкурирующей гипотезы можно рассмотреть гипотезу .

Выдвинутая гипотеза может соответствовать истине или нет. При проверке гипотезы по результатам выборки могут быть допущены ошибки двух родов: 1) ошибка первого рода - правильная гипотеза, но принимаем ; 2) ошибка второго рода - правильная гипотеза, но принимаем . Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости . Обычно берут .

Правило, по которому проверяется гипотеза , называется критерием. Критерий проверки гипотезы реализуется следующим образом: 1) строится некоторая случайная величина , которая имеет известный закон распределения при условии правильности гипотезы ; 2) по заданному уровню значимости находят такую точку , что ; 3) если значение , то принимается гипотеза .

Множество называется областью принятия гипотезы. Множество называется критической областью. Точка , разделяющая эти области, называются критической точкой.

Для проверки гипотезы относительно вида распределения генеральной совокупности часто используют критерий Пирсона (хи-квадрат критерий).

Пусть дана выборка случайной величины объёма . По этой выборке составлен интервальный вариационный ряд:

интервалы				…
				…

Если случайная величина с известной плотностью распределения, то можно найти вероятности . Проверим гипотезу , где и .

Теорема Пирсона. Если гипотеза правильная, то случайная величина имеет распределение Пирсона с степенью свободы, то есть плотность распределения имеет вид .