3. Геометрические и физические задачи

К разделу 1. Уравнения первого порядка

1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

1. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

2. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная .

3. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен .

4. Найти кривые, обладающие в каждой точке свойством: отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

5. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу вдвое меньшую абсциссы точки касания.

6. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

В задачах 7–13 считать, что втекающий газ или жидкость вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно.

7. Сосуд объемом в 20 содержит воздух (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втекает 0,1 азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99 % азота?

8. Сосуд, объемом 40 содержит воздух (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втекает 0,2 азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Сколько азота в сосуде будет через 10 мин?

9. В баке находится 100 раствора, содержащего 10 соли. В бак непрерывно подается вода (5 в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?

10. В баке находится 200 раствора, содержащего 10 соли. В бак непрерывно подается вода (10 в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Через сколько времени в баке останется половина первоначального количества соли?

11. В сосуд, содержащий 10 воды, непрерывно поступает со скоростью 2 в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Через сколько времени в сосуде будет 1,5 соли?

12. В воздухе комнаты объемом 200 содержится 0,15 % углекислого газа. Вентиляция подает в минуту 20 воздуха, содержащего 0.04 % углекислого газа. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?

13. В воздухе комнаты объемом 200 содержится 0,15 % углекислого газа. Вентиляция подает в минуту 20 воздуха, содержащего 0,04 % углекислого газа. Сколько углекислого газа останется в воздухе комнаты через 20 мин?

В задачах 14–18 принять, что скорость остывания или нагревания тела прямо пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

14. Тело охладилось за 10 мин от 100 °C до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 °С. Когда тело остынет до 25 °C?

15. Тело нагрелось за 20 мин от 20 °С до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 80 °С. Когда тело нагреется до 70 °С?

16. Тело охладилось за 10 мин от 100 °С до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 °С. Какова будет температура тела через 40 мин?

17. В сосуд, содержащий 1 воды при температуре 20 °С, опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 , удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75 °С. Через минуту вода нагрелась на 2°С. Когда температура воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1 °С? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь.

18. Кусок металла с температурой градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от градусов до градусов. При разности температур печи и металла в градусов металл нагревается со скоростью градусов в минуту. Найти температуру металла через час.

19. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки – 10 , скорость ее через 4 с – 1 . Когда скорость уменьшится до 1 ? Какой путь может пройти лодка до остановки?

В задачах 20–22 использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, прямо пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент времени.

20. Найти закон, описывающий изменение количества радия с течением времени, если известно, что через 1600 лет останется половина начальной массы. Найти, какой процент окажется распавшимся по истечении 100 лет.

21. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

22. Согласно опытам в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 . Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

23. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной 2 ?

Для составления дифференциального уравнения в задачах 24–25 за неизвестную функцию удобнее взять скорость. Ускорение силы тяжести считать равным 10 .

24. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 , а раскрыл парашют на высоте 0,5 . Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 . Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

25. Футбольный мяч весом 0,4 (принять 1 = 10 ) брошен вверх со скоростью 20 . Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 при скорости 1 . Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха?

В задачах 26–32 принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной , где – ускорение силы тяжести, –высота уровня воды над отверстием.

26. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R = 1.8 и высотой H = 2.45 через отверстие в дне диаметром

2r = 6 ? Ось цилиндра вертикальна.

27. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра.

28. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся вода?

29. Цилиндрический бак диаметром 2R = 1.8 и высотой H = 2,45 имеет отверстие в дне диаметром 2r = 6 . Ось цилиндра вертикальна. В начальный момент времени бак полностью заполнен водой. Какова будет высота воды в баке через 15 минут после начала истечения жидкости?

30. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Вся вода из полного бака вытекает за 15 мин. За какое время вытекает половина воды из полного бака?

31. Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 и высоты H = 10 , обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметром 0,5 , сделанное в вершине конуса?

32. В прямоугольный бак размером и высотой 80 поступает 1,8 воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью

2,5 . За какое время наполнится бак? Сравнить результат с временем наполнения такого же бака без отверстия в дне.

33. Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности земли давление равно 1 (принять 1 = 10 ) и плотность воздуха –0,0012 . Использовать закон Бойля – Мариотта, в силу которого плотность прямо пропорциональна давлению. Изменением температуры воздуха с высотой пренебречь.

34. Масса ракеты с полным запасом топлива равна , без топлива – , скорость истечения продуктов горения из ракеты равна , начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского).