1.2 Однородные уравнения

35. Найти траектории, пересекающие кривые данного семейства под углом в 45°, причем этот угол от касательной к кривой до касательной к траектории отсчитывается в отрицательном направлении:

а) б)

36. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

37. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

38. Найти кривые, для которых отрезок, отсекаемый нормалью на оси ординат в какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.

39. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из данной точки.

1.3 Линейные уравнения

40. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная .

41. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная .

42. В баке находится 100 раствора, содержащего 10 соли. В бак втекает 5 воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно?

43. За время (где очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается грамма и образуется грамма радона. Из каждого грамма радона за время распадается грамма. В начале опыта имелось некоторое количество чистого радия. Когда количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим?

1.6 Уравнения, не разрешенные относительно производной

44. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник с постоянной площадью 2 .

45. Найти кривую, для которой отрезок касательной, заключенный между координатными осями, имеет постоянную длину .

46. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1.

47. Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2.

К разделу 2. Уравнения, допускающие понижение порядка

48. Определить кривую, у которой радиус кривизны равен постоянной величине.

49. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс. Рассмотреть два случая: а) кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс; б) вогнутостью к оси абсцисс.

50. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.

51. Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой в некоторой точке, ординатой этой точки и осью абсцисс, прямо пропорциональна площади криволинейной трапеции, образованной кривой, осью абсцисс и ординатой этой точки.

52. Определить форму равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь.

53. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити с закрепленными концами под действием ее веса.

54. Найти время, нужное телу для того, чтобы упасть на Землю в высоты 400000 (приблизительное расстояние от Луны к центру Земли), если радиус Земли равен приблизительно 6400 .

55. Найти скорость, с которой тело упадет на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение происходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400 .

56. Найти закон движения материальной точки массы по прямой под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки от неподвижного центра .

57. Тело массой падает с некоторой высоты. При падении тело испытывает сопротивление, прямо пропорциональное квадрату скорости. Найти закон движения падающего тела.

58. Найти закон движения тела, падающего без начальной скорости, допуская, что сопротивление воздуха прямо пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при величину

75 .

К разделу 3. Линейные уравнения

59. Найти уравнение движения точки, если ускорение в зависимости от времени выражается формулой , и если при расстояние , а при расстояние .

60. Цепь длиной 6 соскальзывает со стола. В момент начала движения со стола свисал 1 цепи. За какое время со стола соскользнет вся цепь? Трением пренебречь.

61. Цепь переброшена через гладкий гвоздь. В момент начала движения с одной стороны свисает 8 цепи, а с другой стороны – 10 цепи. За какое время вся цепь соскользнет с гвоздя? Трением пренебречь.

62. Тело массой скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти.

63. Поезд движется по горизонтальному пути. Вес поезда – , сила тяги паровоза , сила сопротивления при движении – , где и – постоянные, – скорость поезда; – пройденный путь. Определить закон движения поезда, считая, что при и .

64. Материальная точка массой отталкивается от центра с силой, прямо пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды прямо пропорционально скорости движения. Найти закон движения.

65. Материальная точка массы движется прямолинейно, приближаясь к центру, отталкивающему ее с силой, равной , где – расстояние от точки до центра. Найти закон движения, если в начальный момент времени точка находилась от центра на расстоянии и имела скорость .

66. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости погружения.

В задачах 67–71 принять, что при отклонении груза от положения равновесия на расстояние пружина действует на него с силой , направленной к положению равновесия.

67. Найти период свободных колебаний массы , подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротивления.

68. Груз массой подвешен на пружине и оттянул ее на . Затем пружина оттягивается еще на и отпускается без начальной скорости. Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды.

69. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно .

70. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массой При движении груза со скоростью сила сопротивления равна . При грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость . Исследовать движение груза в случаях и .

71. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешняя сила . Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближаться к периодическому и найти это периодическое движение (вынужденные колебания).

72. Частица массой движется по оси , отталкиваясь от точки с силой и притягиваясь к точке с силой , где и – расстояния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условиями

В задачах 73 – 78 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей:

1) для каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов;

2) алгебраическая сумма напряжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех остальных участках этого контура.

Имеем:

падение напряжения на сопротивлении равно ;

падение напряжения на самоиндукции равно ;

падение напряжения на конденсаторе емкости равно , где – заряд конденсатора в момент времени ; при этом ;

во всех трех случаях – сила тока, протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент .

В этих формулах выражается в амперах, – в омах, – в генри, – в кулонах, – в фарадах, – в секундах, напряжение – в вольтах.

73. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение , сопротивления , самоиндукции и выключателя, который включается при . Найти зависимость силы тока от времени.

74. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцию конденсатором емкости . Конденсатор до замыкания цепи не заряжен.

75. Последовательно включены сопротивление и конденсатор емкости , заряд которого при равен . Цепь замыкается при . Найти силу тока в цепи в зависимости от времени.

76. Последовательно включены самоиндукция , сопротивление и конденсатор емкости , заряд которого при равен . Цепь замыкается при . Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.

77. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону , сопротивление и самоиндукция . Найти силу тока в цепи (установившийся режим).

78. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону , сопротивление , самоиндукция и емкость . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте сила тока наибольшая?

К разделу 4. Линейные системы

79. Тело массой движется на плоскости , притягиваясь к точке с силой , где – расстояние до этой точки. Найти движение тела при начальных условиях: и траекторию этого движения.

80. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке 0, а к другому прикреплен груз массой , соединенный другой пружиной с грузом массы . Оба груза двигаются без трения по одной прямой, проходящей через точку 0. Каждая из пружин растягивается на величину под действием силы . Найти возможные периодические движения системы.

81. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых и . При повороте одного шкива относительно другого на любой угол вследствие деформации вала возникают упругие силы с крутящим моментом . Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил.

К разделу 5. Уравнения в частных производных первого порядка

82. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом поверхности семейства .

83. Найти поверхность, проходящую через прямую , и ортогональную к поверхностям .

84. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору . Найти общее решение этого уравнения.

85. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору , и направляющей .

86. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке , и решить его.

87. Найти поверхности, у которых любая касательная плоскость пересекает ось в точке с абсциссой, вдвое меньшей абсциссы точки касания.

43