Исходные данные
Послед-няя цифра шифра |
Предпоследняя цифра шифра |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: в числителе – номер схемы, размер a и b; в знаменателе – нагрузка в узлах «1» и «2» Fx1, Fy1, Fx2, Fy2.
Пример расчета
Для заданной фермы необходимо определить:
перемещения узлов;
реакции опор;
напряжения в стержнях.
Дано: Е=2,1·1011Н/м2; А=20см2; F1x = 5кН; F2x = 8кН; F2y = 10кН.
1. Составление матриц жесткости конечных элементов
Матрица жесткости для всех элементов имеет одинаковый вид:
.
где
L
– длина элемента:
;
l и m – косинус и синус угла наклона элемента к горизонтальной оси:
,
.
X, Y – координаты узлов.
В соответствии с приведенными формулами составим матрицы жесткости для каждого элемента. Эти матрицы состоят из четырех ячеек. Следует проставить адреса этих ячеек, определяющие их положение в общей матрице жесткости. Они соответствуют номерам узлов, которые соединяет элемент.
Элемент 1 (1 – 5).
L1
= 2м;
;
;
;
;
.
Элемент 2 (1 – 3).
L2
= 4м;
;
;
;
;
.
.
Элемент 3 (2 – 3).
;
;
;
;
;
.
.
Элемент 4 (3 – 4).
L4
= 2м;
;
;
;
;
.
.
Элемент 5 (2 – 5).
;
;
;
;
;
.
.
Элемент 6 (2 – 4).
;
;
;
;
;
.
.
Элемент 7 (4 – 5).
L7
= 4м;
;
;
;
;
.
.
2. Составление общего уравнения равновесия
Уравнение равновесия для всей фермы имеет вид:
K·U = F,
где К – общая матрица жесткости (должна получиться симметричной относительно главной диагонали):
U
– вектор перемещений; F
– вектор внешних нагрузок.
;
.
Вектор перемещений составлен с учетом того, что в 4-м и 5-м узле перемещения по вертикали и горизонтали отсутствуют, так как в этих узлах находятся шарнирно-неподвижные опоры.
В вектор внешних нагрузок были вписаны силы, приложенные к 1-му и 2-му узлу, в 3-м узле внешние нагрузки отсутствуют, поэтому на их месте стоят нули. На 4-й и 5-й узел действуют реакции опор, которые пока не найдены.
В общем уравнении равновесия вектор перемещений умножается на матрицу жесткости. При этом 7-й, 8-й, 9-й и 10-й столбец умножается на ноль, т.е. их можно сразу вычеркнуть. Также следует вычеркнуть 7-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю строчку, поскольку в них присутствуют неизвестные пока реакции опор. После сокращения уравнение равновесия примет вид:
.
В этом уравнении приложенные силы переведены в [Н].