2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решим систему, записанную в матричном виде:

Или в сокращенном виде:

,

где Е=2,1·10¹¹ Н/м²; А=20·10^-4м².

Прежде всего, зададим исходные данные.

Введите

E 2.1 10 11 Tab A 20 10 -4 Tab Enter

Enter

Следует отметить, что десятые от целых отделяются точкой.

Далее необходимо ввести матрицу коэффициентов, которая займет значительное место, поэтому опустим курсор несколько ниже, нажав около десяти раз подряд клавишу Enter .

Введите

К Е А

Для ввода матрицы выполните следующие действия. Нажмите в палитре математики кнопку . Появится панель матриц

.

На этой панели нажмите кнопку аналогичную показанной выше , в появившемся окне в поле строк и столбцов введите 6. Нажмите ОК .

В формулу добавится матрица размером 6х6 с пустыми ячейками:

Введите заданные коэффициенты в матрицу, перемещаясь по ячейкам при помощи клавиш ← ↑ → ↓ . Нажмите Tab .

Далее аналогично матрице коэффициентов следует ввести вектор нагрузок F.

Введите

F

_{используя описанную выше методику ввода матриц, добавьте матрицу с 6-ю строками и 1-м столбцом. Заполните пустые ячейки. Нажмите} Tab . Рабочее окно будет иметь вид:

Таким образом, все исходные данные введены, теперь следует решить эту систему и получить вектор неизвестных u. Для этого воспользуемся стандартной функцией lsolve.

Щелкните левой клавишей мышки по рабочему окну программы, ниже исходных данных, с таким расчетом, что бы мог поместиться вектор неизвестных.

Введите

u lsolve(K,F) Tab u Tab

Программа выведет вектор неизвестных:

Приложение в расчет балки методом конечных элементов в программном комплексе ansys

Постановка задачи

Дана балка, к которой приложена распределенная нагрузка, сосредоточенная сила и момент. Необходимо определить:

• прогибы и углы поворота узлов;

• реакции в опорах;

• сравнить полученные значения с рассчитанными вручную.

Дано: L₁=1 м; L₂=2 м; L₃=3 м; q=5кН/м; М=20кНм; Р=10кН; Е=2,1·10¹¹Н/м²; I=2000см⁴.

В отличие от предыдущей работы мы не будем отдельно создавать геометрическую модель, а затем разбивать ее на конечные элементы. В данном случае гораздо проще сразу создать узлы и объединить их в элементы.

Шаг 1: Задание типа и параметров конечных элементов. В этой задаче мы будем использовать балочный конечный элемент Beam 3. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор) > Element Type (Тип элемента) > Add/Edit/Delete (Добавить/Редактировать/Удалить) Нажмите Add… для добавления типа элемента.
В библиотеке выберете семейство Beam. Из этого семейства выберете 2D elastic элемент (Beam 3). Нажмите OK.

Ш аг 2: Выбор действительных параметров элементов.

На этом этапе на необходимо задать характеристики поперечного сечения балки.

15. Main Menu > Preprocessor > Real Constants (действительные параметры) > Add/Edit/Delete

16. Нажмите Add (добавить к существующему списку наборов параметров).

Нажмите OK.

18. В появившемся окне Real Constants for BEAM3 необходимо заполнить поле

Cross-sectional area AREA 20e-4

(Площадь поперечного сечения равна А=20·10^-4м²)

Area moment of inertia IZZ 2e-5

(Осевой момент инерции относительно оси Z равен I=2·10^-5м⁴)

Total beam height HEIGHT 0.2

(Высота сечения балки равна Н=0.2м)

19. Нажмите OK.

20. Нажмите Close для закрытия окна Real Constant.

Шаг 3: Установка свойств материала.

В данном примере используется изотропный материал с постоянными свойствами.

7. Main Menu (Главное меню) > Preprocessor (Препроцессор) > Material Props (Свойства материала) > Material Models (модель материала)

8. Дважды щелкните на Structural (Структурный), Linear (Линейный), Elastic (Упругий), Isotropic (Изотропный).

9. Введите 2.1e11 для EX (Модуль упругости).

10. Введите 0.3 для PRXY (Коэффициент Пуассона).

11. Нажмите OK.

Шаг 4: Создание узлов.

11. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > - Nodes (Узлы)- In Active CS (В текущей координатной системе)

12. Заполните поля появившегося диалогового окна

Node number (Номер узла) 1

X, Y, Z Location in active CS 0 0 0

(Координаты 1-го узла Х=0; Y=0; Z=0)

13. Apply (Применить)

14. Node number (Номер узла) 2

X, Y, Z Location in active CS 1 0 0

(Координаты 2-го узла Х=1м; Y=0; Z=0)

15. Apply (Применить)

16. Node number (Номер узла) 3

X, Y, Z Location in active CS 3 0 0

(Координаты 3-го узла Х=3м; Y=0; Z=0)

17. Apply (Применить)

18. Node number (Номер узла) 4

X, Y, Z Location in active CS 6 0 0

(Координаты 4-го узла Х=6м; Y=0; Z=0)

19. OK

20. Save_DB

Шаг 5: Создание конечных элементов.

19. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы) > Thru Nodes (По узлам)

20. Выберете курсором мышки узел 1 и 2 в графическом поле.

21. Apply.

22. Выберете курсором мышки узел 2 и 3 в графическом поле.

23. Apply.

24. Выберете курсором мышки узел 3 и 4 в графическом поле.

25. OK.

26. Save_DB

Ш аг 6: Изменение параметров отображения.

Для удобства отобразим нумерацию узлов и элементов

1. Utility Menu (меню Утилит)> Plot Ctrls (Параметры отображения)> Numbering (Нумерация)

2. Установите маркер около пункта Node numbers (нумерация узлов).

3. В списке Elem/Attrib numbering выберите Element numbers.

4. Нажмите OK.

5. Utility Menu (меню Утилит) > Plot (Отображение)> Elements (Элементы).

Шаг 7: Задание граничных перемещений.

На этом этапе следует задать нулевое вертикальное перемещение 1-го и 3-го узла, а также нулевой угол поворота поперечного сечения балки в 1-м узле.

8. Main Menu (Главное меню) > Solution (Решение) > -Loads (Нагрузки) - Apply (Приложенные) > -Structural (Структурный) - Displacement (Перемещения) > On Nodes (В узлах)

9. Выберите узел 1.

10. Нажмите OK в Picking Menu (Меню выбора).

11. Выберите All DOF (перемещения по всем осям).

12. Введите 0 в Value (нулевые перемещения).

13. Нажмите Apply.

14. SAVE_DB.

15. В ыберите узел 3.

16. Нажмите OK в Picking Menu (Меню выбора).

17. Последовательно выберите UX, UY (перемещения по осям Х и Y).

18. Введите 0 в Value (нулевые перемещения).

19. Нажмите OK.

20. SAVE_DB.

Шаг 8: Приложение распределенной нагрузки.

1. Main Menu (Главное Меню) > Solution (Решение) > -Loads (Нагрузки) - Apply (Приложенные) > -Structural (Структурный) - Pressure (Давление) > On Beams (На балку)

2. Выберете 1-й элемент.

3. Нажмите ОК.

4. Введите значение распределенной нагрузки (распределенная нагрузка считается положительной, если действует в сторону балки)

Pressure value at node I 5000

5. Нажмите ОК.

Шаг 9: Приложение сосредоточенной силы.

13. Main Menu (Главное Меню) > Solution (Решение) > -Loads (Нагрузки) - Apply (Приложенные) > -Structural (Структурный) – Force/Moment (Сила/Момент) > On Nodes (К узлам).

14. Выберете 4-й узел.

15. Нажмите ОК.

16. Из списка Direction of force/mom (Направление силы/момента) выберите FY.

17. В поле Force/moment value (Значение силы/момента) введите заданную силу 10000 (сила направленная вверх считается положительной).

6. Нажмите Apply (Применить).

7. Выберите 2-й узел.

8. Н ажмите ОК.

9. Из списка Direction of force/mom выберите MZ

10. В поле Force/moment value введите значение заданного момента 20000 (положительным направлением момента считается по часовой стрелке)

11. Нажмите OK.

Шаг 9: Расчет.

5. Main Menu (Главное меню) > Solution (Решение) > -Solve (Счет) - Current LS (Текущая задача)

6. Изучите содержание появившегося окна и закройте его File > Close.

7. Нажмите OK для запуска счета.

8. Нажмите кнопку Close в появившемся желтом информационном окне Solution is done (Расчет выполнен).

Шаг 10: Просмотр перемещений и углов поворота поперечных сечений в узлах.

7. M ain Menu > General Postproc > List Results (Список результатов) > Nodal Solution . . . (Расчет в узлах)

8. Выберите DOF solution (Расчет степеней свободы) в левом scroll-меню.

9. Выберите ALL DOFs (Все степени свободы) в правом scroll-меню.

10. Нажмите OK.

11. Сравните полученные перемещения и углы поворота поперечных сечений со значениями, найденными вручную.

12. Нажмите File > Close для закрытия окна.

Шаг 11: Просмотр реакций в закреплениях.

13. Main Menu > General Postproc > List Results (Список результатов) > Reaction Solu (Расчет реакций)

14. Нажмите OK

15. Сравните полученные реакции со значениями, найденными вручную.

16. Нажмите File > Close для закрытия окна.