Варианты схем

схема 1	схема 2
схема 3	схема 4
схема 5	схема 6
схема 7	схема 8
схема 9	схема 10
схема 11	схема 12
схема 13	схема 14
схема 15	схема 16
схема 17	схема 18
схема 19	схема 20

Пример расчета

Д ля заданной балки определить перемещения и углы поворота в узлах, а также опорные реакции.

Дано: L₁=1 м; L₂=2 м; L₃=3 м; q=5кН/м; М=20кНм; Р=10кН; Е=2,1·10¹¹Н/м²; I=2000см⁴.

Решение

1. Составление матрицы жесткости отдельных элементов

Элемент 1 (1-2)

Элемент 2 (2-3)

Элемент 3 (3-4)

2. Составление глобального уравнения равновесия

Запишем глобальную матрицу жесткости:

Для того, что бы записать вектор нагрузок в уравнении равновесия, приведем заданную распределенную нагрузку к эквивалентным силам, сосредоточенным в узлах схемы, согласно изображенному правилу.

Заданная схема примет вид:

В общем виде глобальное уравнение равновесия имеет вид:

С учетом внешней нагрузки, и закреплений опорных узлов, это уравнение примет вид:

(1)

3. Определение перемещений в узлах

Из этого уравнения следует вычеркнуть строки и столбцы, соответствующие нулевым перемещениям узлов, т.е. номер 1, 2 и 3. Полученная матрица должна быть симметричной относительно главной диагонали:

Решая эту систему уравнений, получаем вектор неизвестных перемещений.

4. Определение реакций в опорах

Умножим найденный вектор перемещений на 1-ю, 2-ю и 3-ю строку глобального уравнения равновесия (1). Запишем это произведение в матричном виде:

,

где . Откуда (2)

Описанные выше расчеты рекомендуется выполнить в программном комплексе MathCad.

В соответствии с (2) окончательно найдем реакции:

5. Проверка полученных результатов

Для проверки составим уравнение статики.

.

Так как условие равновесия сил соблюдается задача решена верно.

Приложения приложение а

Постановка задачи

Для заданного стержня необходимо определить перемещения узлов, реакции опор и осевые усилия. Сравнить полученные результаты со значениями найденными вручную.

Дано A₁=15см²; A₂ =10см²; A₃ =5см²; l₁ = 1м; l₂=2м; l₃=3м; P=15 кН; q=10 кН/м; E=2,1·10¹¹Н/м².

В отличие от предыдущей работы мы не будем отдельно создавать геометрическую модель, а затем разбивать ее на конечные элементы. В данном случае гораздо проще сразу создать узлы и объединить их в элементы.

Шаг 1: Задание типа и параметров конечных элементов. В этой задаче мы будем использовать стержневой конечный элемент Link1. Поскольку условие предполагает три ступени, для их описания воспользуемся тремя конечными элементами одного типа и разных диаметров. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор) > Element Type (Тип элемента) > Add/Edit/Delete (Добавить/Редактировать/Удалить). Нажмите Add… для добавления типа элемента.
В библиотеке выберете семейство Link. Из этого семейства выберете 2D spar элемент (Link 1). Нажмите OK. В окне Element Type нажмите Close.

Шаг 2: Выбор действительных параметров элементов.

На этом этапе нам необходимо задать три площади поперечного сечения балки.

1. Main Menu > Preprocessor > Real Constants (действительные параметры) > Add/Edit/Delete

2. Нажмите Add (добавить к существующему списку наборов параметров).

В окне Element Type for Real Constants нажмите OK. В появившемся окне Real Constants for LINK1 необходимо заполнить поле Cross-sectional area AREA 15e-4 (Площадь поперечного сечения равна А=15·10-4м2). Нажмите OK.
Добавим площадь второй ступени. Нажмите Add в окне Real Constants. В окне Element Type for Real Constants нажмите OK. В появившемся окне Real Constants for LINK1 необходимо заполнить поле Cross-sectional area AREA 10e-4 (Площадь поперечного сечения равна А=10·10-4м2). Нажмите OK.
Добавим площадь второй ступени. Нажмите Add в окне Real Constants. В окне Element Type for Real Constants нажмите OK. В появившемся окне Real Constants for LINK1 необходимо заполнить поле Cross-sectional area AREA 5e-4 (Площадь поперечного сечения равна А=5·10-4м2). Нажмите OK. В окне Real Constants нажмите Close.

Шаг 3: Установка свойств материала.

В данном примере используется изотропный материал с постоянными свойствами.

1. M ain Menu > Preprocessor (Препроцессор) > Material Props (Свойства материала) > Material Models (модель материала)

2. Дважды щелкните на Structural (Структурный), Linear (Линейный), Elastic (Упругий), Isotropic (Изотропный).

3. Введите 2.1e11 для EX (Модуль упругости).

4. Введите 0.3 для PRXY (Коэффициент Пуассона).

5. Нажмите OK.

6. Save_DB.

Шаг 4: Создание узлов.

1. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > - Nodes (Узлы)- In Active CS (В текущей координатной системе).

2. Заполните поля появившегося диалогового окна

Node number (Номер узла) 1

X, Y, Z Location in active CS 0 0 0

(Координаты 1-го узла Х=0; Y=0; Z=0)

3. Apply (Применить).

4. Node number (Номер узла) 2

X, Y, Z Location in active CS 1 0 0

(Координаты 2-го узла Х=1м; Y=0; Z=0)

5. Apply (Применить).

6. Node number (Номер узла) 3

X, Y, Z Location in active CS 3 0 0

(Координаты 3-го узла Х=3м; Y=0; Z=0)

7. Apply (Применить).

8. Node number (Номер узла) 4

X, Y, Z Location in active CS 6 0 0

(Координаты 4-го узла Х=6м; Y=0; Z=0)

9. OK.

10. Save_DB.

Шаг 5: Создание конечных элементов.

При создании конечных элементов будем учитывать то, что каждый элемент имеет свою площадь поперечного сечения. Эта площадь задается при помощи параметра Real Constants.

Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы)> Elem Attributes… (Атрибуты элементов). Нажмите ОК. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы) > Thru Nodes (По узлам) Выберете курсором мышки узел 1 и 2 в графическом поле. OK.
Main Menu > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы)> Elem Attributes… (Атрибуты элементов). В поле Real constant set number выберите 2. Нажмите ОК. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы) > Thru Nodes (По узлам). Выберете курсором мышки узел 2 и 3 в графическом поле. OK.
Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы)> Elem Attributes… (Атрибуты элементов). В поле Real constant set number выберите 3. Нажмите ОК. Main Menu (Главное Меню) > Preprocessor (Препроцессор)> -Modeling (Моделирование)- Create (Создать) > Elements (Элементы) > Thru Nodes (По узлам) Выберете курсором мышки узел 3 и 4 в графическом поле. OK. Save_DB.

Шаг 6: Задание граничных перемещений.

Н а этом этапе следует задать нулевое вертикальное и горизонтальное перемещение 1-го и 4-го узла.

1. Main Menu (Главное меню) > Solution (Решение) > -Loads (Нагрузки) - Apply (Приложенные) > -Structural (Структурный) - Displacement (Перемещения) > On Nodes (В узлах)

2. Выберите узел 1 и 4.

3. Нажмите OK в Picking Menu (Меню выбора).

4. Выберите All DOF (перемещения по всем осям).

5. Введите 0 в Value (нулевые перемещения).

6. Нажмите ОК.

7. SAVE_DB.

Шаг 7: Приложение внешней нагрузки.

Распределенную нагрузку приложим как две сосредоточенные, действующие в узлах элемента и равные половине общей распределенной нагрузки. При этом во втором узле общая нагрузка будет складываться из половины распределенной и сосредоточенной.

1. Main Menu (Главное Меню) > Solution (Решение) > -Loads (Нагрузки) - Apply (Приложенные) > -Structural (Структурный) – Force/Moment (Сила/Момент) > On Nodes (К узлам).

2. Выберете 1-й узел.

3. Нажмите ОК.

4. Из списка Direction of force/mom (Направление силы/момента) выберите FX.

5. В поле Force/moment value (Значение силы/момента) введите заданную силу -10*1000*1/2 (сила направленная вправо считается положительной).

6. Нажмите Apply.

7. Выберете 2-й узел.

8. Нажмите ОК.

9. Из списка Direction of force/mom (Направление силы/момента) выберите FХ.

10. В поле Force/moment value (Значение силы/момента) введите заданную силу 10*1000.

11. Нажмите ОК.

12. SAVE_DB.

Шаг 8: Расчет.

1. Main Menu (Главное меню) > Solution (Решение) > -Solve (Счет) - Current LS (Текущая задача).

2. Изучите содержание появившегося окна и закройте его File > Close.

3. Нажмите OK для запуска счета.

4. Нажмите кнопку Close в появившемся желтом информационном окне Solution is done (Расчет выполнен).

Шаг 9: Просмотр перемещений в узлах.

1. M ain Menu > General Postproc > List Results (Список результатов) > Nodal Solution . . . (Расчет в узлах)

2. Выберите DOF solution (Расчет степеней свободы) в левом scroll-меню.

3. Выберите ALL DOFs (Все степени свободы) в правом scroll-меню.

4. Нажмите OK.

5. Сравните полученные перемещения со значениями, найденными вручную.

6. Нажмите File > Close для закрытия окна.

Шаг 10: Просмотр реакций в закреплениях.

1. Main Menu > General Postproc > List Results (Список результатов) > Reaction Solu (Расчет реакций).

2. Нажмите OK.

3. Сравните полученные реакции со значениями, найденными вручную.

4. Нажмите File > Close для закрытия окна.

Шаг 11: Просмотр напряжений в элементах.

1. Main Menu > General Postproc > List Results (Список результатов) > Element Solution.

2. В открывшемся окне выберите LineElem Results.

3. Нажмите OK.

4. Величина SAXL показывает напряжения, возникающие в элементе.

5. Сравните полученные реакции со значениями, найденными вручную.

6. Нажмите File > Close для закрытия окна.