Подставив полученное значение δ в формулу (12.7), найдем

(12.10)

Точное решение задачи о пограничном слое, полученное Блазиусом в результате интегрирования дифференциальных уравне­ний движения вязкой жидкости, дает для  и  выражения: и (12.11)

Характер изменения толщины пограничного слоя и напряже­ния трения в зависимости от χ показан на рис. 12.6.

Определим силу сопротивления трения Хтр, действующую на одну сторону пластины шириной b и длиной l. Если на элемен­тарной площадке сила трения равна

₀bdx, то, очевидно, полная сила трения на пластине определяется интегралом:

Подставив в этот интеграл значение τ₀ согласно (12.11), получим

(12.12)

Умножая числитель и знаменатель на величину , вво­дя число Рейнольдса и учитывая, что S = bl, найдем (12. 13)

или , где C_f = l,328/Re. (12.14)

В еличина C_f является коэф­фициентом трения плоской пластины. Коэффициент лобо­вого сопротивления пластины, обусловленный силами трения, действующими на обе стороны, C_x = 2,656/Rе.

Рис. 12.6. Изменение напряже­ния трения и толщины погра­ничного слоя по длине пласти­ны

Таким образом, в случае ламинарного пограничного слоя коэффициент C_f обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса, чем больше число Re, тем меньше этот ко­эффициент.

12.4. Применение интегрального соотношения

ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Интегральное соотношение (12.3) применимо и для турбу­лентного пограничного слоя. Однако соотношения (12.6) и (12.7) в этом случае непригодны, поскольку в турбулентном погранич­ном слое изменение трения подчиняется другим, более сложным закономерностям.

Точная теория турбулентных течений пока не разработана, однако экспериментально установлено, что в турбулентном пограничном слое распределение скоростей приближенно может быть представлено, например, в виде степенного закона: (12.15)

Опыт показывает, что для скоростей невозмущенного потока, не превышающих половины скорости звука, можно принять n = 7. Тогда получим известный закон изменения скорости по се­чению турбулентного пограничного слоя на плоской пластине:

, где δ – толщина пограничного слоя. (12.16)

При увеличении скорости течения величина n возрастает. Существуют и другие законы распределения скоростей в турбулент­ном пограничном слое, например, логарифмический.

Для определения напряжения трения τ₀ на пластине можно воспользоваться формулой, полу­ченной по аналогии с течением в трубе (12.17)

где . Здесь следует иметь в виду, что для напряжения трения при турбулентном режиме движения жидкости в круглой трубе используется экспериментальная зависимость. Расчеты по формулам (12.16) и (12.17) будут достаточно точными при срав­нительно малых числах Re_. Воспользовавшись условиями (12.16) и (12.17), вычислим значения двух интегралов:

и подставим их в интегральное соотношение (12.3), которое после преобразований примет вид (12. 18)

Сравнивая это выражение для τ₀ с (12.7), получим равенство

которое после преобразований и разделения переменных запи­шем следующим образом: .

После интегрирования этого уравнения и определения посто­янной интегрирования С (из условия при х = 0  = 0) получим формулу для определения толщины пограничного слоя на пло­ской пластине при турбулентном режиме течения

 = 0,37(/V_ x)^l/5x или  = 0,37 (l/Re_х)^1/5x. (12. 19)

Сопоставляя формулы (12. 11) и (12. 19) для толщины лами­нарного и турбулентного пограничных слоев, заметим, что тол­щина турбулентного пограничного слоя пропорциональна x^6/5, а ламинарного х^1/2, т.е. толщина турбулентного пограничного слоя нарастает более интенсивно по сравнению с толщиной ла­минарного пограничного слоя.