12.6. Влияние сжимаемости воздуха на пограничный слой

В настоящее время имеется много работ, посвященных исследованию влияния сжимаемости воздуха на пограничный слой. И хотя этот вопрос исследован достаточно полно, мы приведем только его качественный анализ ввиду сложности теоретических выкладок.

Выражение для толщины пограничного слоя и силы сопротивления пла­стины в несжимаемом потоке могут быть записаны в виде

(12. 23)

(12.24)

где k и k₁ – постоянные коэффициенты, различные для ламинарного и тур­булентного пограничных слоев; m — показатель степени, различный для ла­минарного и турбулентного пограничных слоев.

В сжимаемой жидкости плотность ρ и коэффициент вязкости μ являют­ся переменными величинами. Особенно заметно изменяется плотность возду­ха, так как при торможении в пограничном слое высокоскоростного потока происходит его нагрев. Давление в пограничном слое пластины неизменно. Если предположить, что течение газа в пограничном слое происходит без теплообмена, то при p = const согласно (7.3) (12. 25)

Изменения коэффициента вязкости μ в зависимости от температуры при отсутствии теплопередачи можно оценить, используя эмпирическую формулу

(12.26)

где для воздуха β = 0,75.

Уменьшение плотности воздуха вблизи поверхности пластины и увеличе­ние коэффициента вязкости с увеличением числа М_ оказывают влияние на толщину пограничного слоя и силу трения, характер которого можно оценить, воспользовавшись некоторыми средними значениями этих величин. Ве­личину средней температуры в пограничном слое между температурой невозмущенного потока Т_ и температурой торможения T₀ можно оценить при­ближенно с помощью постоянного коэффициента α(0<α<1): T_ср = α + (1 – α) T₀/T или Т_cp/Т_ == α + (1 – α) Τ₀/Τ_ (12. 27)

Это соотношение с учетом (12.25), (12.26) принимает вид

(12. 28)

Аналогичным образом введем понятие о средней плотности и средней вязкости. Полагая, что для средних величин справедливы зависимости (12.25), (12.26)

; (12. 29)

и, вводя их в формулы для определения толщины пограничного слоя (12. 23) и силы трения (12. 24), в случае сжимаемого газа получим

;

или

С учетом соотношений (12.28) и (12.29) выражения для толщины по­граничного слоя и коэффициента трения принимают вид

(12. 30)

(12.31)

Так как коэффициенты α, m, β изменяются в пределах 0 < α < 1,

0 < m(1 + β) < 1 то, очевидно, что с увеличением числа М_ толщина погра­ничного слоя увеличивается, а коэффициент трения уменьшается независи­мо от структуры пограничного слоя.

Для воздуха k = 1.4, β = 0.75. В случае ламинарного течения в погра­ничном слое m = 0.5, а  можно принять равным 0.5 из условия согласования с точными решениями.

Рис. 12.8. Изменение толщины ламинарного (1, 2) и турбу­лентного (3, 4)

пограничных слоев в зависимости от числа Re:

1—по формуле 12.40;

2—по теории пограничного слоя;

3—по формуле 12.42;

4—по теории пограничного слоя

Тогда расчетные формулы (12.30) и (12.31) примут следующий вид:

_сж = _нс (1 + 0.1М²_)^7/8 (12. 32)

(12. 33)

В случае турбулентного пограничного слоя при небольших числах Рейнольдса можно принять m=0.2, m(1+)=1/3, =2/3 и тогда

(12. 34)

(12. 35)

Формулы (12.32) — (12.35) были получены профессором Г. Ф. Бураго. На основании анализа этих формул можно заключить, что с увеличением числа М_ толщина пограничного слоя увеличивается более интенсивно в слу­чае ламинарного течения, а коэффициент трения падает более интенсивно в случае турбулентного течения. Кривые изменения толщины пограничного слоя в зависимости от числа М_, построенные по приближенным формулам (12.32) и (12.34), а также на основании теории пограничного слоя приведены на рис. 12. 8.