2.3. Сглаживание ряда динамики с помощью метода аналитического выравнивания
В отличие от двух предыдущих методов (укрупнения интервалов, скользящей средней) метод аналитического выравнивания позволяет не только выровнять данные, но и представить развитие ряда динамики в виде функции времени у =f(t).
При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени: считается, что влияние других факторов несущественно или же косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построчная модель у=f(t) должна соответствовать характеру изменения тенденции изучаемого явления. Выбранная функция у=f(t) позволяет получить выровненные (теоретические) значения уровней ряда динамики.
Для отображения трендов применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические функции и т.д.
Оценка параметров в моделях у =f(t) находится методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в определении таких значений параметров (коэффициентов уравнения), при которых сумма квадратов отклонений расчётных значений уровней от фактических была бы минимальной:
,
( 17)
где
yi-
фактическое значение уровня ряда
динамики;
-
расчётные
значения; n
– число уровней ряда.
2.3.1. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой
Аналитическое уравнение прямой имеет вид:
,
(18)
где t – порядковый номер периодов времени (или моментов);
– выровненные
значения ряда динамики.
Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:
(19)
Отсчёт времени удобно производить так, чтобы сумма показателей времени ряда динамики была равна нулю, то есть:
.
(20)
При нечётном числе уровней ряда динамики для достижения равенства (20) уровень, находящийся в середине ряда, условно принимается за начало отсчёта времени, то есть этому периоду времени (или моменту) придаётся нулевое значение. Все последующие за нулевым уровнем обозначаются: +1;+2;+3 и т.д., а все предыдущие уровни в порядке расчёта, начиная от нулевого, обозначаются соответственно: -1;-2;-3 и т.д.
При чётном числе уровней ряда динамики для достижения равенства (20) уровни первой половины ряда (от конца этой половины и до начала ряда динамики) нумеруются: -1;-2;-3 и т.д., а уровни второй половины ряда (от начала этой половины и до конца ряда динамики) обознаются соответственно: +1;+2;+3 и т.д.
При соблюдении указанного принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (19) преобразуется к более простому виду:
(21)
Решение системы 21 относительно неизвестных а, b позволяет определить параметры уравнения прямой (18):
,
(22)
.
(23)
2.3.2. Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе
Аналитическое уравнение параболы имеет вид:
.
(24)
Параметры уравнения a ,b и c определяются на основе МНК.
Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:
(25)
При соблюдении принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (25) преобразуется к следующему виду:
(26)
Решение системы уравнений (26) относительно неизвестных a,b,c позволяет определить параметры уравнения параболы (24).
Методику расчёта параметров уравнений прямой и параболы для данных последнего года рассматриваемого периода (табл.1) иллюстрирует табл.5.
Таблица 5