Лекція 7 Теорія коливань.

План.

7.1. Вимушені коливання точки без урахування опору.

7.1.1. Фаза вимушених коливань.

7.1.2. Амплітуда вимушених коливань.

7.1.3. Явище резонансу.

7.1. Вимушені коливання точки без урахування опору.

Вимушені коливання здійснює матеріальна точка, на яку окрім відновлюючої сили діє сила, що періодично змінюється і називається вимушуючою силою.

Ми розглянемо коливання під дією такої вимушуючої сили , проекція якої на вісь, що співпадає з напрямком руху точки, змінюється за законом:

,

де: Н - максимальне значення вимушуючої сили;

р - частота зміни вимушуючої сили;

- фаза зміни вимушуючої сили;

-початкова фаза зміни вимушуючої сили.

Період зміни вимушуючої сили визначається за її частотою

.

Розглянемо прямолінійний рух матеріальної точки М (рисунок 7.1.) під дією відновлюючої сили та вимушуючої сили , що змінюється за гармонічним законом.

	Вісь Х спрямуємо вздовж прямолінійної траєкторії точки М - початок координат О поєднаємо і положенням, в якому відновлююча сила F = 0. Диференціальне рівняння руху точки М в проекції на вісь Х мас вид:
Рисунок 7.1. Вимушені коливання точки.

.

Де

,

тоді

,

або

.

Введемо позначення:

, .

Отримаємо:

.

Рівняння являє собою диференціальне рівняння вимушених коливань матеріальної точки.

Диференціальне рівняння - неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. З курсу математики відомо, що рішення Х такого рівняння рівне сумі рішення однорідного рівняння та частинного рішення даного рівняння:

.

Однорідне рівняння є диференціальним рівнянням вільних гармонічних коливань. Його загальне рішення відоме:

,

або в амплітудній формі:

.

Знайдемо частинне рішення рівняння. В залежності від величини р частинне рішенння має різну форму. Розглянемо спочатку випадок, коли .

Рішення шукаємо у формі:

.

Для визначення невідомої сталої А ми повинні в рівняння замість х підставити , а замість - підставити .

Визначимо спочатку , а потім :

,

,

тоді

.

Ділимо обидві частини отриманої рівності на

, .

Звідси

.

Підставляючи значення А, знаходимо потрібне частинне рішення рівняння:

.

0тже, загальне рішення має вигляд:

,

або в амплітудній формі:

.

Довільні сталі , або та визначаються за початковими умовами.

За кінематичним рівнянням рух точки є результатом накладення двох коливальних рухів. Коливання, що визначаються першим членом: мають частоту вільних коливань і їх називають власними коливаннями матеріальної точки.

Коливання, що визначаються другим членом:

,

мають частоту вимушуючої сили і їх називають вимушеними коливаннями матеріальної точки.

Амплітуда вимушених коливань як додатня величина дорівнює:

.

Таким чином, у випадку одночасної дії відновлюючої та вимушуючої сили, матеріальна точка виконує складний коливальний рух, що являє собою результат накладення вільних та вимушених коливань точки.

З рівняння (4.36) маємо наслідок: доданок, що визначає виму­шені коливання точки, не містить сталих інтегрування, отже, вимушені коливання не залежать від початкових умов руху точки.

Дослідимо вимушені коливання точки.

.

Частота р та період вимушених коливань співпадають з частотою та періодом вимушуючої сили.

Вимушені коливання, частота р яких менше ніж частота k вільних коливань точки, називають вимушеними коливаннями малої частоти.

Вимушені коливання, частота р яких більше ніж частота k вільних коливань точки, називають вимушеними коливаннями великої частоти.