Лекція 9. Динаміка відносного руху точки.

План.

9.1.Диференціальні рівняння відносного руху точки.

9.2. Окремі випадки відносного руху точки.

9.2.1. Рухомі осі координат здійснюють нерівномірне обертання навколо нерухомої осі.

9.2.2. Рухомі осі координат здійснюють рівномірне обертання навколо нерухомої осі.

9.2.3. Рухомі осі координат рухаються поступально.

9.2.4. Точка по відношенню до рухомих осей знаходиться в стані спокою.

9.3. Принцип відносності класичної механіки.

9.1. Диференціальні рівняння відносного руху точки.

Попередні теми були присвячені вивченню руху матеріальної точки у відношенні до інерціальної системи відліку (умовно "нерухомої"), тобто такої системи, в якій ізольована матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Рух точки у відношенні до такої інерціальної системи відліку називається абсолютним.

Для вивчення руху матеріальної точки в нерухомій системі координат, як відомо, простим та зручним математичним апаратом є методи динаміки, в основу якої покладені закони Ньютона.

Необхідно зазначити, що далеко не завжди зручно відносити всі види руху до інерціальних систем відліку. Наприклад, при дослідженні руху супутника або міжконтинентальної ракети нам необхідно врахувати обертання Землі навколо її осі, тобто при розв'язання цих задач Землю не можна вважати інерціальною системою відліку. Пов'язувати ж систему відліку з Сонцем незручно, тому що ми знаходимося на Землі і нас цікавить рух відносно Землі.

Ці та інші приклади приводять до висновку, що рівняння руху матеріальної точки необхідно вміти складати в будь-якій системі відліку.

В цьому розділі ми будемо вивчати рух точки масою М у відношенні до неінерціальної системи відліку ОХУ, тобто такої системи, яка довільним чином (з прискоренням) рухається відносно інерціальної системи відліку OX₁Y₁Z₁, як зображено на рисунку 9.1.

	Рух точки M у відношенні до такої неінерціальної системи відліку називають відносним. Нехай положення точки М на траєкторії відносного руху АВ визначається радіус-вектором і точка мас відносну швидкість , та відносне прискорення . Позначимо рівнодіючу всіх прикладених до точки М сил вектором .
Рисунок 9.1. Рух точки у відношенні до неінерціальної системи відліку ОХУ, яка довільним чином рухається відносно інерціальної системи відліку OX1Y1Z1.

Ця сила створює абсолютне прискорення точки в нерухомій системі координат.

Таким чином, за другим законом динаміки

, де .

Щоб записати закон руху цієї ж точки відносно неінерціальної системи відліку, тобто закон її відносного руху, використаємо теорему Коріоліса:

,

де: - відносне прискорення точки;

- переносне прискорення;

- коріолісове прискорення.

Маємо:

.

Виражаємо через інші члени:

.

Розглядаючи праву частину рівності можна зробити висновок, що сила, яка діє на точку і створює її відносне прискорення , складається з трьох сил: беспосередньо прикладеної до точки сили та двох додаткових сил, що спостерігаються тільки в рухомій системі відліку.

Необхідно звернути увагу на те, що вектори: та ми можемо назвати силами дякуючи фізичній розмірності цих величин та беспосередній можливості вимірювати, їх динамометром.

Сила, яка числено дорівнює добутку маси точки, що рухається на її переносне прискорення та спрямована протилежно цьому прискоренню, називається переносною силою інерції : .

Сила, яка числено дорівнює добутку маси точки, що рухається, на її коріолісове прискорення та спрямована протилежно цьому прискоренню, називається коріолісового або поворотною силою інерції : .

Отримаємо:

.

Таким чином, для того, щоб закон руху матеріальної точки в будь-якій системі відліку мав таку ж форму, як і в інерціальній системі, ми повинні прикласти до точки окрім рівнодіючої заданих сил, ще й переносну та коріолісову сили інерції.

В кінематиці всі системи відліку були еквівалентні і точки зору спостерігачів, котрі пов'язані з цими системами відліку, були рівноправними.

В динаміці ця еквівалентність приведених систем відліку та рівноправність точок зору пов'язаних з ними спостерігачів порушується. Існує "привілейована" система відліку (інерціальна), в якій закон руху записується в його найпростішій формі, а в інших системах відліку, що рухаються відносно інерціальної, той самий закон записується в більш складній формі.

Існування такої "привілейованої" системи відліку характерна риса класичної динаміки.

Складемо диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки.

Нехай нам відомий закон відносного руху: , , .

Тоді проекції відносного прискорення точки на осі координат дорівнюють:

, , .

Проектуючи рівняння на осі рухомої системи координат OXYZ отримаємо диференціальні рівняння відносного руху точки:

, , .

Бачимо, що зміна відносного руху точки М може виникати за двох причин:

по-перше, в результаті механічної взаємодії цієї точки з іншими матеріальними об'єктами;

по-друге, внаслідок довільного (прискореного) руху системи відліку OXYZ, у відношенні до системи відліку O₁X₁Y₁Z₁.

При цьому мірою вимірювання відносного руху точки М, що виникло в результаті механічної взаємодії цієї точки з іншими матеріальними об'єктами, є активна сила .

Мірою того ж самого вимірювання відносного руху точки, що обумовлено неінерціальністю рухомої системи відліку OXYZ, є переносна та коріолісова сили інерції ( , ).

Сили інерції та за своїм визначенням , , не є результатом механічної взаємодії точки М з іншими матеріальними об'єктами зовнішнього світу. Поява цих сил повністю обумовлена рухом неінерціальноі системи відліку OXYZ у відношенні до інерціальної системи O₁X₁Y₁Z₁ та рухом точки М відносно неінерціальної системи відліку OXYZ.