Лекція 5. Теорія коливань.

План.

1. Види коливальних рухів точки.

2. Вільні гармонійні коливання точки.

3. Вплив постійної сили на вільні коливання точки.

4. Загасаючі коливання точки.

5.4.1. Випадок малого опору.

5.4.2. Граничний випадок.

5.4.3. Випадок великого опору.

5.1. Види коливальних рухів точки.

Навчання про коливання складає основу ряду областей фізики і техніки. Хоча коливання, розглянуті в різних областях відрізняються друг від друга за своєю фізичною природою, основні закони цих коливань у всіх випадках залишаються тими самими. Рух машин і механізмів завжди супроводжується коливаннями (вібраціями). Ріст їхньої інтенсивності вище припустимих норм може привести до руйнування, коливання використовуються і як корисний процес у вібромашинах.

У даній темі ми розглядаємо різні випадки прямолінійного коливального руху точки.

Серед різних діючих на крапку сил особливе місце займають сили, що відновлюють, прагнучі повернути точку в положення рівноваги (наприклад сила пружності пружини).

Тіло М лежить на гладкій горизонтальній поверхні і з'єднано з недеформованою пружиною. На нього діють дві взаємно урівноважені сили: -вага, реакція поверхні. Якщо тіло відхилити в положення то діє сила пружності розтягнутої пружини прагнуча повернути його в стан спокою 0, як наведено на рисунку 5.1.

	Модуль сили пропорційний подовженню пружини: де постійний коефіцієнт пропорційності. У положенні діє сила пружності стиснутої пружини яка також прагне повернути тіло в положення 0.
Рисунок 5.1. Коливальний рух точки.

Розглянемо наступні випадки коливань матеріальної точки:

1. вільні коливання, що виникають під дією тільки відновлюючиї сили;

2. загасаючі коливання, що виникають під дією відновлюючиї сили і сили опору.

3. змушені коливання, що виникають під дією відновлюючиї сили і змушуючиї сили, яка має періодичний характер.

4. змушені коливання, що виникають під дією відновлюючиї сили і сили опору.

5.2. Вільні гармонійні коливання точки.

Приймаємо прямолінійну траєкторію руху точки за вісь х, початок координат 0 розташуємо в стані спокою точки М.

Якщо точки виведена зі стану спокою, то на нее діє відновлююча сила , як наведено на рисунку 5.2.а.

	Нехай у момент часу точка М має координату х, тоді модуль сили : де коефіцієнт твердості пружини, дорівнює силі пружності при одиничній деформації.
Рисунок 5.2.а. Вільні гармонійні коливання точки.

Запишемо векторне рівняння руху точки М:

Спроектуємо рівняння на вісь х:

Поділимо обох частин рівняння на m і введемо позначення

Рівняння приймає вигляд:

.

Це диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної точки.

Розмірність

Дане рівняння є однорідним лінійним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Його рішення знаходимо у виді:

тоді

.

Підставимо ці значення:

Загальне рішення рівняння має вигляд:

Швидкість точки М:

Для визначення постійних і задаємо початкові умови.

При

.

Остаточне рівняння точки приймає вигляд:

Рівняння прийме інший вигляд, якщо замість постійних і ввести нові постійні і , вважаючи

Тоді

Чи закон гармонійного коливального руху, коливання точки під дією тільки однієї сили, що відновлює, називається вільними коливаннями матеріальної точки.

Швидкість точки:

Величина дорівнює найбільшому відхиленню точки від центра 0 і називається амплітудою коливань.

Аргумент синуса який позначає положення точки в даний момент часу і напрямок її наступного руху, називається фазою коливань.

Величина початкова фаза.

При

Коливання починаються від центра 0, спрямовані вправо.

При коливання відбуваються по косинусоідє

Починаються з положення зі швидкістю

Період часу за який точка виконує одне повне коливання називається періодом коливань. Т.к. період синуса та косинуса дорівнює , тоді після закінчення періоду фаза коливань змінюється на , тобто:

чи

Величина зворотня періоду частотою коливань (рисунок 5.2.б.).

.

	Величина відрізняється від тільки постійним множником . Тому частотою коливань будемо називати величину . Значення і визначаються з початкових умов.
Рисунок 5.2.б. Вільні гармонійні коливання точки.

При

Одержимо:

Маємо систему двох рівнянь із двома невідомими

Зведемо їх у квадрат і складемо

Звідси:

.

При розподілі цих рівнянь одержимо:

Властивості вільних коливань.

1). Амплітуда і початкова фаза коливань залежить від початкових умов.

2). Частота і період коливань від початкових умов не залежать і є незмінними характеристиками даної коливної системи.