7.1.3. Явище резонансу.
Явище резонансу виникає при співпадінні частот вимушених та вільних коливань точки:
.
В цьому випадку амплітуда вимушених коливань точки дорівнює нескінченності і більшість рівнянь вимушених коливань втрачають сенс. Диференціальне рівняння в цьому випадку має вигляд:
.
Рівняння має загальне рішення:
.
Загальне
рішення рівняння
,
як відомо, дорівнює:
,
або
.
Частинне
рішення
рівняння
знаходимо
у вигляді:
.
Похідну
визначаємо як похідну від добутку
та
:
.
Аналогічно
.
Для
визначення величини В
підставляємо значення
та
в рівняння:
,
або
.
Звідси
.
Отримаємо загальне рішення диференціального рівняння:
,
або
.
В амплітудній формі ці рівняння мають вигляд:
,
або
.
Отримані рівняння показують, що рух точки М в випадку резонансу є результатом накладання вільних та вимушених коливань точки, так само, як і в випадку р = k.
Вільні коливання визначаються рівнянням:
.
Вимушені коливання при наявності резонансу:
.
Частота
та період вимушених коливань у випадку
резонансу дорівнюють частоті k
та періоду
вільних коливань точки.
Фаза
вимушених коливань
відстає від фази вимушуючої сили
на величину
.
3 рівняння видно, що множник перед синусом зростає зі збільшеням часу та може досягти як завгодно великих значень.
Графіком
відстаней для вимушених коливань в
наявності
резонансу
є
синусоїдальна крива, що вписана в межі
між прямими
та
тому
що
за модулем не більше одиниці. При
точки графіка лежать
на цих прямих (рисунок
7.1.3.).
З графіка видно, що амплітуда коливань збільшується на протязі часу. Резонанс, що випадково стався для деталей усякої споруди (міст, будівлі і т. п.) може привести до небажаних наслідків. Амплітуди вимушених коливань можуть бути такими значними, що споруда їх не витримає і може зруйнуватися.
|
Будівельник, що створює будь-яку споруду, повинен знати власні частоти конструкції, її індивідуальність, щоб оцінити можливість появи резонансу. Для гасіння небажаних резонансних коливань існують два методи. Перший метод полягає в "настройці" системи шляхом такої зміни власних частот, щоб вони не співпадали з частотою збудження або, навпаки, шляхом зміни частот збудження. |
Рисунок 7.1.3. Графік відстаней для вимушених коливань в наявності резонансу. |
Другий метод полягає в спеціальному збільшенні демпфіювання системи. В випадку демпфіювання системи (тобто штучному введенні тертя в систему) спостерігається підвищення розсіювання енергії в конструкції і тим самим зменшення резонансних коливань.
В деяких реальних спорудах розсіювання енергії вельми незначне, наприклад, в підвісних мостах. В цьому випадку зовсім незначна перемінна сила може викликати небезпечні резонансні коливання.
Лекція 8. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.
План.
8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.
8.1.1. Вид вимушених коливань за наявністю опору.
8.1.2. Частота та період вимушених коливань.
8.1.3. Фаза вимушених коливань.
8.1.4. Амплітуда вимушених коливань.