8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.

Нехтуючи впливом сил опору, при вивченні вимушених коливань ми прийшли до хибного висновку: при резонансі вимушені коливання виявилися зростаючими пропорційно часу, внаслідок чого система повинна б була зруйнуватись, якою б малою не була амплітуда гармоніки вимушуючої сили, що потрапила в резонанс. Це протирічча може бути пояснено, якщо врахувати вплив сил опору. При цьому ми обмежимося розглядом тільки опору, що пропорційний першій степені швидкості.

	Уявимо, що на матеріальну точку М масою m, що рухається вздовж осі ОХ, як наведено на рисунку 8.1. Діють відновлююча сила , сила опору , пропорційна швидкісті та гармонічна вимушуюча сила , що відповідно представлені формулами: , ,
Рисунок 8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.

Диференціальне рівняння руху точки М має в цьому випадку наступний вигляд:

.

Переносимо члени сх і в ліву частину рівняння:

,

ділимо на m:

.

Розглянемо коефіцієнти рівняння:

- квадрат частоти вільних коливань;

- де b - коефіцієнт затухання;

- відношення амплітуди вимушуючої сили до маси точки.

При цих позначеннях диференційне рівняння руху точки має

вигляд:

.

Рівняння являє собою диференціальне рівняння вимушених коливань при наявності опору руху, пропорційного швидкості.

Рішення х рівняння складається з загального рішення , рівняння ,

що має вигляд:

,

(розглядається випадок малого опору), і частинного рішення рівняння:

.

Частинне рішення рівняння шукаємо у вигляді:

.

Величина є амплітудою вимушених коливань, а - кутом зсуву фази вимушених коливань у відношенні до фази вимушуючої сили.

Сталі та повинні бути визначені шляхом підстановки функції та її похідних у вихідне рівняння, для цього знайдемо та :

, .

Підставимо , , у вихідне рівняння:

.

Приводимо праву частину рівняння до вигляду:

.

Підставляємо цей вираз в праву частину рівняння, переносимо всі члени в ліву частину та групуємо окремо члени, що включають та :

;

,

,

або

.

Остання рівність виконується тотожно, якщо коефіцієнти при і дорівнюють нулю. Отримуємо два рівняння для визначення та :

, ,

або

, .

Із останніх рівностей знаходимо значення сталих та . Для цього піднесемо обидві частини отриманих рівнянь до квадрату та додамо їх:

; .

,

або

.

Звідки:

.

Розділимо другий вираз рівняння на перший:

; .

Окрім цього отримуємо:

, .

З виразу для видно, що завжди більше нуля, звідки витікає наслідок, що кут знаходиться в першій або в другій четвертях і його, тобто кут , можна визначити тільки за єдиним тангенсом.

Частинне рівняння, тобто рівняння вимушених коливань приймає вигляд:

.

Загальне рішення диференціального вихідного рівняння для випадку малого опору b < k, таким чином, має вигляд:

.

Отримані коливання складаються з власних (перший доданок правої частини рівняння та вимушених (другий доданок правої частини рівняння.

Таким чином, рух матеріальної точки під дією відновлюючої та вимушуючої сил та сили опору середовища, пропорційної швидкості точки являє собою накладання власне вимушених коливань на затухаючі коливання при b < k, або накладання вимушених коливань на аперіодичний рух при .

Наявність множника обумовлює швидке затухання власних коливань. Тому, в багатьох розрахунках, особливо в випадку режиму, що установився, необхідно враховувати, головним чином, вимушені коливання.