Структурирование, ввод и проверка данных.
Прежде чем мы сможем применить статистические методы или строить графики, следует представить собранные данные в форме, пригодной для обработки. При этом рекомендуется придерживаться следующего плана действий:
Проведите структурирование набора данных; прежде всего, выясните, к каким категориям относятся наблюдения и переменные. В большинстве случаев это ясно сразу. Определите шкалу, к которой относятся переменные.
Составьте таблицу исходных данных. Каждая строка такой таблицы обычно соответствует одному объекту, а каждый столбец – одному измеренному признаку.
Введите данные, учитывая таблицу исходных данных. Не вводите данные, которые можно вычислить на основе других данных. Эти вычисления следует предоставить компьютеру.
Проверьте введенные данные на отсутствие ошибок и осмысленность.
Теперь можно начинать статистическую обработку введенных данных.
Меры центральной тенденции
Положение «центра» распределения генеральной совокупности может быть охарактеризовано тремя различными точечными оценками – оценкой медианы, оценкой моды и оценкой математического ожидания.
Статистическими точечными оценками генеральной совокупности называют медиану, моду и дисперсию наблюдаемых значений.
Свойства точечной оценки - состоятельности, несмещенности и эффективности
Состоятельность.
Оценка
характеристики
называется состоятельной, если она
удовлетворяет закону больших чисел,
т.е. сходится по вероятности к оцениваемому
параметру: Если
говорить коротко то, чем больше объем
исходной информации, тем ближе оценка
к оцениваемому параметру. Если это так,
то
- состоятельная оценка.
Если оценка несостоятельная, то она не имеет практического смысла: увеличение объема исходной информации не будет приближать нас к истине. Поэтому свойство состоятельности следует проверять в первую очередь.
Несмещенность. Оценка характеристики называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:
M(
)
.
Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.
Эффективность.
Несмещенная оценка
характеристики
называется эффективной, если она имеет
наименьшую дисперсию среди всех возможных
несмещенных оценок параметра
,
вычисленных по выборкам одного и того
же объема n,
т.е. D(
)
.
Медиана— это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая — меньше.
Если данные содержат нечетное число различных значений, например 11, 13, 18, 19, 20, то медиана есть центральное значение для случая, когда они упорядочены, т. е. Мe = 18.
Если данные содержат четное число различных значений, например 4, 9, 13, 14, то медиана есть точка, лежащая посредине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены: Мe = (9 + 13)/2 = 11.
Таким образом,
|
(1.3) |
.Мода — это число, которое чаще других встречается в выборке (наиболее модное). Классический пример использования моды — выбор размера выпускаемой партии обуви или цвета обоев.
Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»).
Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемой переменной. Например, в социологических опросах, если переменная представляет собой предпочтение или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существуют несколько определенно различных мнений.
Мультимодальность также служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно, порождены двумя или более «наложенными» распределениями. В отличие от среднего арифметического, выбросы на моду не влияют. Для непрерывно распределенных случайных величин, например, для показателей среднегодовой доходности взаимных фондов, мода иногда вообще не существует (или не имеет смысла). Поскольку эти показатели могут принимать самые разные значения, повторяющиеся величины встречаются крайне редко.
Оценкой математического ожидания является выборочное среднее – среднее арифметическое вариант
|
(1.4) |
.Отметим некоторые особенности рассмотрения мер центральной тенденции.
В небольших выборках мода может быть совершенно нестабильной.
На медиану не влияют величины самых больших и самых малых значений.
На величину среднего значения оказывает влияние каждый элемент выборки, если какой-либо элемент выборки изменится на величину с, то среднее значение изменится в том же направлении, на величину с/n.
Некоторые выборки вообще нельзя охарактеризовать с помощью мер центральной тенденции. Особенно это справедливо для выборок, имеющих более, чем 1 моду.
Если выборка является унимодальной, т.е. имеет 1 моду и гистограмма такой выборки является симметричной, то в этом случае мода, медиана и среднее значение совпадают.
В табл. 2 приводятся данные о возможности использования тех или иных мер центральной тенденции в зависимости от типа измерительных шкал.
Таблица 2