3. Меры связи между признаками

Анализ связей между признаками – главный вид задач, встречающийся практически в любом эмпирическом исследовании. Изучение связей между переменными, интересует исследователя не само по себе, а как отражение соответствующих причинно-следственых отношений.

Корреляционный анализ – вид статистического анализа, который состоит в количественной оценке силы и направления связи между двумя (парная корреляция) или несколькими (множественная корреляция) наборами данных. Для количественной оценки силы связи используются коэффициенты парной корреляции r и множественной корреляции R.

Основные условия применения

1. Наличие достаточно большой по объему выборочной совокупности.

Считается, что число наблюдений должно превышать более чем в 10 раз число факторов, влияющих на результат.

2. Наличие качественно однородной исследуемой совокупности.

3. Подчинение распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону или близость к нему.

Выполнение этого условия обусловлено использованием метода наименьших квадратов (МНК) при расчете параметров корреляции и некоторых др.

Основные задачи корреляционного анализа

1. Измерение тесноты связи между результативным и факторным признаком (признаками). В зависимости от количества влияющих на результат факторов задача решается путем вычисления корреляционного отношения, коэффициентов парной, частной, множественной корреляции или детерминации.

2. Оценка параметров уравнения регрессии, выражающего зависимость средних значений результативного признака от значений факторного признака (признаков). Задача решается путем вычисления коэффициентов регрессии.

3. Определение важнейших факторов, влияющих на результативный признак. Задача решается путем оценки тесноты связи факторов с результатом.

4. Прогнозирование возможных значений результативного признака при задаваемых значениях факторных признаков. Задача решается путем подстановки ожидаемых значений факторов в регрессионное уравнение и вычисления прогнозируемых значений результата.

При изучении корреляций стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то сопровождается ли увеличение одного показателя возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Иными словами, корреляционный анализ помогает установить, можно ли предсказывать возможные значения одного показателя, зная величину другого.

Первоначальное значение термина "корреляции" – взаимная связь.

Когда говорят о корреляции, используют термины "корреляционная связь" и "корреляционная зависимость".

Корреляционная связь – это согласованные изменения двух признаков или большего количества признаков (множественная корреляционная связь).

Корреляционная зависимость – это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.

Зависимость подразумевает влияние, связь – любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной связи, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого, но находится ли причина изменений в одном из признаков или она оказывается за пределами исследуемой пары признаков, нам неизвестно.

Корреляционные связи различаются по форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной.

При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.

По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака – низкие значения другого (см. рис. 1.2). При отрицательной корреляции соотношения обратные.

При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, например r=+0,207, при отрицательной корреляции – отрицательный знак, например r=-0,207.

Рис. 1.2. Схема прямолинейных корреляционных связей: а) положительная (прямая) связь, б) отрицательная (обратная) связь

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

Линейный коэффициент корреляции Пирсона, который можно рассчитать по следующей формуле:

Коэффициент корреляции – это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до –1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной – минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

Для качественной оценки силы связи используются специальные табличные соотношения (например, шкала Чеддока, табл. 5)

Таблица 5

Шкала Чеддока

Значения коэффициента корреляции	Характер связи
	Очень слабая
	Слабая
	Заметная
	Сильная
	Очень сильная

Направление связи определяется знаками : близость к +1 означает, что возрастанию одного набора значений соответствует возрастание другого набора, близость к -1 означает обратное.

В качестве мер корреляции используются:

1) эмпирические меры тесноты связи, многие из которых были получены еще до открытия метода корреляции, а именно:

а) коэффициент ассоциации, или тетрахорический показатель связи;

б) коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова;

в) коэффициент Фехнера;

г) коэффициент корреляции рангов;

2) линейный коэффициент корреляции r;

3) корреляционное отношение η;

4) множественные коэффициенты корреляции и др.

В таблице 6.. приведены сведения о том, какой из коэффициентов корреляции следует использовать в зависимости от того, в каких шкалах измерены исследуемые переменные.

Таблица 6.

Выбор меры связи

Тип шкалы		Метод корреляционного анализа		Примечания
Интервальная или отношений	Интервальная или отношений		Коэффициент корреляции Пирсона		Обе переменные x и y должны быть нормально распределенными
Порядковая, Интервальная или отношений	Порядковая, Интервальная или отношений		1.коэффициенты корреляции Спирмена (и Кендалла) 2. Коэффициент Фехнера		Хотя бы одна из переменных x или y не подчиняется нормальному закону распределения
Интервальная или отношений	Порядковая		Ранговые коэффициенты корреляции (Спирмена и Кендалла)
Порядковая	Порядковая		Ранговые коэффициенты корреляции Кендалла
Интервальная или отношений	Дихотомическая		Биссериальный коэффициент корреляции
Ранговая	Дихотомическая		Рангово-биссериальный коэффициент корреляции
Дихотомическая	Дихотомическая		1. Коэффициент 2. Коэффициент корреляции знаков
Номинальная	Номинальная		Коэффициент взаимной сопряженности

Графики корреляции позволяют визуально проверить распределения на наличие выбросов, которые могут существенно повлиять на расположение кривой, а также установить факт наличия и направления связи между зависимыми и независимыми переменными.

Для переменных с интервальной и с номинальной шкалой используется коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если, по меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу либо не является нормально распределённой, то используется ранговая корреляция по Спирману или τ (тау-грого-соая) Кендала. Если же одна из двух переменных является дихотомической, то можно использовать точечную двухрядную корреляцию (в статистической компьютерной программе SPSS эта возможность отсутствует вместо нее, может быть применён расчёт ранговой корреляции). В том случае если обе переменные являются дихотомическими, используется четырёхполевая корреляция (данный вид корреляции рассчитываются SPSS на основании определения мер расстояния и мер сходства). Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными возможен только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена). Если связь, к примеру, U-образная (неоднозначная), то коэффициент корреляции непригоден для использования в качестве меры силы связи: его значение стремится к нулю.

Таким образом, условия применения коэффициентов корреляции будут следующими:

1.     Переменные, измеренные в количественной (ранговой, метрической) шкале на одной и той же выборке объектов;

2.     Связь между переменными является монотонной.

Основная статистическая гипотеза, которая проверяется корреляционным анализом, является ненаправленной и содержит утверждение о равенстве корреляции нулю в генеральной совокупности H₀: r_xy=0. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза H₁: r_xy≠0 о наличии положительной или отрицательной корреляции – в зависимости от знака вычисленного коэффициента корреляции.

На основании принятия или отклонения гипотез делаются содержательные выводы. Если по результатам статистической проверки H₀: r_xy=0 не отклоняется на уровне α, то содержательный вывод будет: связь между X и Y не обнаружена. Если же H₀: r_xy=0 отклоняется на уровне α,то вывод: обнаружена положительная (отрицательная) связь между X и Y. Однако к интерпретации выявленных корреляционных связей следует подходить осторожно. Следует избегать категоричных фраз типа «переменная X является причиной увеличения показателя Y». Подобные утверждения следует формулировать как предположения, которые должны быть строго обоснованы теоретически.