4.2. Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей.

Цей метод грунтується на припущені, що параметри перебувають між собою в залежності, мають один і той самий знак і змінюються за законом геометричної прогресієї, тобто:

(6).

Величина називається темпом зменшення дистробутивного лагу. Ця формула є досить логічною, тому що з плином часу вплив фактора на показник стає все меншим.

Враховуючи припущення (6) довгостроковий мультиплікатор , який дорівнює сумі всіх параметрів буде обчислюватися за формулою:

(7).

Цей ряд є збіжний і має скінчену суму.

Розглянемо нескінченну дистрибутивно-лагову модель (4) і застосуємо до неї припущення Койка (6):

,

(8).

Припустимо, що модель (8) справедлива і в попередній момент часу t-1

(9).

Помножимо рівняння (9) на :

Позначимо перетворене рівняння через (10). Віднімемо рівняння (8) і (10) і отримаємо:

(11).

(11) – модель Койка. Перепишемо модель Койка у вигляді:

(12).

Рівняння (12) має набагато простіший вигляд порівняно з початковою моделлю (4), однак вона має і ряд недоліків:

- перетворення Койка переводять дистрибутивно-лагову модель у клас авторегресивних моделей;

- не розглядається питання можливості мультиколінеарності та ;

-для перевірки автокореляції не можна використовувати тест Дарбіна-Уотсона.

5. Модифікація моделей Койла. 5.1. Модель адаптивних очікувань: перша модифікація моделі Койка.

Розглянемопобудову моделі адаптивних очікувань на прикладі:

(13),

- попит на гроші,

- очікувана довгострокова або звичайна відсоткова ставка,

- відхилення.

Оскільки величина не може бути визначена на даному етапі (це майбутнє значення) в економіці запропонована гіпотеза помилкового навчання або адаптивного очікування, яка має вигляд:

(14).

Суть гіпотези полягає в тому, що майбутнє значення з деяким множником залежить від теперішнього значення. В майбутньому ми використовуємо теперішній досвід з деяким відхиленням, тобто пристосовуючи його до конкретної ситуації, або, інакше, вчимося на помилках.

Визначимо з даної гіпотези і підставимо у рівняння (13):

(14),

(15).

Припустимо, що модель (13) справедлива в попередній період часу t-1:

(16).

Домножимо (16) на :

(17).

Віднімаємо (15) і (17):

(18).

Після спрощення отримаємо:

(19).

(19) – перша модифікація моделі Койка (модель адаптованих очікувань). Вона має набагато простіший вигляд порівняно з початковою моделлю, однак недоліком є складний вигляд відхилення .

5.2.Модель часткових пристосувань: друга модифікація моделі Койка. Розглянемо побудову моделі часткових пристосувань на прикладі:

(20),

- бажаний рівень капіталу,

- випуск продукції,

- випадкова величина.

Оскільки бажаний рівень капіталу не можна оцінити безпосередньо, то використовується гіпотеза, яка називається гіпотезою часткових пристосувань:

(21),

де - коефіцієнт пристосування

Коротка суть гіпотези полягає в наступному: фактична зміна капіталу (інвестиції) є деякою часткою від бажаної зміни за цей період.

Підставимо значення з формули (20) у формулу (21), попередньо перетворивши її:

(22).

Після перетворення, отримаємо:

(22).

(22) – друга модифікація моделей Койка, яка називається модель часткових пристосувань.

Їй властиві усі недоліки загальної моделі Койка.

6. Оцінка параметрів моделі Койка та її модифікацій методом допоміжної змінної . Неможливість застосування МНК до моделі Койка та її модифікацій виявляється в тому, що змінна величина може корелювати з відхиленням , тому для оцінки параметрів моделей Койка використовують метод допоміжної змінної.

Суть методу допоміжної змінної полягає в тому, що вводять деяку допоміжну змінну , для змінної , припускаючи, що допоміжна змінна корелює з , і не корелює з відхиленням . У загальному випадку усі розглянуті авторегресивні моделі (модель Койка, модель адаптивних очікувань і часткових пристосувань) можна записати у такому вигляді:

(23).

Для оцінки параметрів рівняння (23) використовуємо метод допоміжної змінної. Система нормальних рівнянь для рівняння (23) буде мати такий вигляд:

(24)

Розв‘язавши систему (24) методом ЗЖВ, отримаємо параметри моделі (23).

Зауваження. Хоча метод допоміжної змінної простий у застосуванні, він не є універсальним тому що змінні , та можуть бути колінеарні між собою. Такий випадок зменшує сферу застосування методу.

7. Підхід Альмона до дистрибутивно-лагових моделей. Усі розглянуті вище динамічні моделі грунтуються на припущенні про те, що параметри цих моделей спадають у геометричній прогресії. Це є часткове припущення, яке обмежує клас розглянутих задач. У загальному випадку параметри можна виразити як функцію від числа t з наперед заданою тривалістю часовою лагу.

Саме такий підхід запропонував Альмон для знаходження параметрів дистрибутивно-лагових моделей. Розглянемо застосування даного підходу на прикладі дистрибутивно-лагової моделі скінченного лагу k:

(3).

Альмон використовував теорему Веєрштрасса з математичного аналізу про те, що параметр можна апроксимувати (представити) многочленом відповідного ступеня від числа і з наперед заданою тривалістю часового лагу.

На практиці було показано, що найточніші результати отримуються при використанні многочленів 2 і 3 ступеня:

,

.

Зауваження. В загальному випадку для представлення параметра можна застосовувати многочлен будь-якого ступеня. При цьому отримані результати будуть достовірними, однак найбільша точність досягається при використанні многочленів 2 і 3 ступеня. Застосуємо многочлен 2-го степення до рівняння (3), записавши його в скороченому вигляді:

(25).

Отримаємо:

(26).

Спростивши вираз (26), отримаємо:

(27).

Введемо заміну змінних:

(28).

Після заміни отримаємо рівняння (29):

(29).

(29) – рівняння лінійної множинної регресії, до якого можна застосувати метод найменших квадратів (класичний).

Підхід Альмона є найкращим серед всіх розглянутих методів, однак має такі недоліки:

1) максимальна тривалість часового лагу повинна бути визначена самостійно відповідно до кількості даних показників;

2) потрібно самостійно визначити ступінь многочлена, яким задається параметр .

Рекомендується вибирати многочлен 2-го ступеня.

Розв‘язавши рівняння (29) методом МНК, ми знайдемо параметри Для знаходження параметрів використовують представлення параметра многочленом 2-го степення:

(30).

(30) задає значення параметрів дистрибутивно-лагової моделі (3).