5. Побудова довірчих інтервалів параметрів моделі плр і теоретичних значень показника.

Якщо припустити, що розкид спостережень відносно лінійної регресії розподілений за нормальним законом, то надійні межі для параметра рівняння парної лінійної регресії визначається за формулою:

(17),

де – табличне значення функції Стьюдента, яке визначається за даними значеннями ймовірності і числом ступенів вільності ;

– незсувна і обгрунтована статистична оцінка дисперсії і визначається за формулою:

(18).

Тоді надійний інтервал параметра рівняння парної лінійної регресії буде мати вигляд:

.

У тих самих припущеннях надійні межі для параметра визначають за формулою:

(19).

Тоді надійний інтервал параметра рівняння парної лінійної регресії буде мати вигляд:

.

Надійні межі базисних середніх значень показника визначаються за формулою:

(20).

Сполучаючи неперервною лінією на графіку всі значення та відповідно , отримаємо верхню та відповідно нижню межу надійної зони регресії. Частина площини, яка знаходиться між ними, називається надійною зоною парної лінійної регресії.

Зазначимо, що найкращі припущення із заданою надійністю потрібно очікувати в околі точки . Надійна зона збільшується при віддаленні від значення .

6. Знаходження прогнозного значення показника та його довірчого інтервалу. Прогнозуванням називається наукове передбачення ймовірнісних шляхів розвитку явищ і процесів для більш-менш віддаленого майбутнього.

Періодом упередження називається проміжок часу від моменту, для якого є останні статистичні дані про досліджуваний об'єкт, до моменту, до якого належить прогноз.

Прогнозування, яке грунтується на збереженні загальної тенденції розвитку явищ у часі, можна звести до добору аналітичних виразів типу за даними за минуле й екстраполяції здобутих залежностей.

П

12

рогноз показника дістають підстановкою у здобуте регресійне рівняння прогнозних значень фактора. Результатом є точкова оцінка середнього значення показника при даних рівнях факторів.

Середнє прогнозне значення показника при значенні фактора відповідно до лінійної регресії визначається за формулою:

(21).

Знайдемо надійні межі прогнозу. Запишемо межі надійного інтервалу індивідуального прогнозованого значення

(22).

Тоді надійний інтервал прогнозу буде мати вигляд:

.

7. Коефіцієнт еластичності. В економічних задачах для оцінки впливу на показник будь-якого фактора часто використовують коефіцієнт еластичності. В загальній статистиці коефіцієнт еластичності отримують на основі статистичного ряду. Припустимо, що маємо статистичний ряд із базисними даними показника і фактора:

Х Х₁ Х₂ Х₃ ……. Х_n

Y Y₁ Y₂ Y₃ ……. Y_n

Коефіцієнт еластичності для значення фактора знаходять за формулою:

,

де - абсолютне відхилення показника,

- абсолютне відхилення фактора.

Якщо між фактором і показником знайдена стохастична залежність, то коефіцієнт еластичності для значення фактора аналогічно можна знайти за формулою:

.

Якщо зробити граничний перехід при , то отримаємо формулу для точкової оцінки коефіцієнта еластичності:

(23).

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсоток.

Для парної лінійної регресії коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою:

(24).

За обчисленими значеннями коефіцієнта еластичності будуємо графік залежності коефіцієнта еластичності від числових значень фактора.

8. Модель парної нелінійної регресії (види і приклади). Найбільш поширеною, вивченою і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія. Проте не всі економічні процеси можна нею моделювати. Тому на практиці використовують складніші моделі з нелінійними залежностями між показником y і фактором x, які називаються парними нелінійними регресіями. Для таких регресій зберігається вся методологія досліджень, яку ми детально розглядали у випадку парної лінійної регресії.

Вивчення цієї теми має на меті навчити студента на основі фактичних статистичних даних будувати економічні моделі у формі парної нелінійної регресії і проводити їх повний економічний аналіз. Вивчення даної теми можливе з використанням електронних таблиць Excel.

Парною нелінійною регресією показника Y на фактор X називається нелінійна стохастична залежність між Y і X, які перебувають у причинно-наслідкових відношеннях.

Парна нелінійна регресія буває таких видів:

1) нелінійна за фактором, але лінійна за показником (або квазілінійна);

2) нелінійна і за фактором, і за показником.

Розглянемо приклади парних нелінійних регресій та обчислення їх параметрів:

1) .

Заміною зведемо до виду . Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

2) .

Прологарифмуємо вираз:

.

Заміною , зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри регресій будуть обчислюватися за формулами:

; .

Остаточно, .

3)

Прологарифмуємо вираз:

.

Заміною , зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри регресій будуть обчислюватися за формулами:

.

Остаточно .

4) .

Заміною зведемо вираз парної нелінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

5)

Заміною ; зведемо вираз парної нелінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

6) .

Заміною зведемо вираз квазілінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

; .

7)

Заміною зведемо вираз квазілінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

8) .

Заміною зведемо вираз парної нелінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

9) .

Прологарифмуємо вираз і отримаємо:

.

Заміною ; ; зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

Остаточно, ; .

10) .

Прологарифмуємо вираз і отримаємо:

.

Заміною ; ; зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

Остаточно .

11) .

Прологарифмуємо вираз і отримаємо:

.

Заміною ; ; ; зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

Остаточно, ; .

12) .

Прологарифмуємо вираз і отримаємо:

.

Заміною ; зведемо вираз парної нелінійної регресії до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

Остаточно, .

13) .

Прологарифмуємо вираз і отримаємо:

.

Заміною ; зведемо вираз до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

Остаточно, .

14)

Заміною зведемо квазілінійну регресійну залежність до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

15)

Заміною зведемо квазілінійну регресійну залежність до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.

16)

Заміною зведемо вираз квазілінійної регресійної залежності до лінійного виду .

Параметри будуть обчислюватися за формулами:

;

.