Тема 3. Допоміжний математичний матеріал

План

1. Матриці: поняття, види, операції, властивості, визначник.

2. Власні числа матриці.

3. Диференційне числення в матричній формі.

1. Матриці: поняття, види, операції, властивості, визначник. При розв’язанні економічних задач використовуються таблиці значень, системи регресій, які зручно записувати лаконічно, з використанням матричних позначень.

Матриці – це прямокутні таблиці елементів, розташовані у рядках і стовпцях.

Матриця [А] називається прямокутною матрицею порядку n на m, або nxm (n – число рядків, m – число стовпців).

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Порядок квадратної матриці визначається одним числом – кількістю рядків (стовпців).

Матриця, яка складається з одного рядка елементів, називається вектором – рядком.

Матриця, яка складається з одного стовпця елементів, називається вектором – стовпцем.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, в якій кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою [Е].

Одинична матриця має вигляд:

Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нульовою.

Квадратна матриця [А] порядку n називається симетричною, якщо виконується умова для всіх елементів матриці.

Матриця [A] дорівнює матриці [B], якщо вони одинакових розмірів, наприклад, nxm, і мають однакові відповідні елементи:

.

Розглянемо дії над матрицями

1. Додавання матриць

Додавання матриць вводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць [A] і [B] порядку nxm називається матриця [C], яка має такий самий порядок mxn, як і матриці [А] і [В], причому кожен елемент матриці [C] дорівнює сумі відповідних елементів матриць [A] і [B]:

2. Множення числа на матрицю

Добутком числа на матрицю [A] порядку nxm називається матриця [B] порядку nxm, кожний елемент якої дорівнює добутку числа на відповідний елемент матриці [A]:

= .

Для додавання і множення матриць на число справедливі такі операції:

1. [A] + [B] = [B] + [A] – комутативний закон додавання матриць;

2. [A] + ([B] + [C]) = ([A] + [B]) + [C] – асоціативний закон додавання матриць;

3. (b[A]) = ( b)[A] - асоціативний закон множення чисел на матрицю;

4. ([A] + [B]) = [A] + [B] – дистрибутивний закон множення числа на суму матриць;

5. ( + b)[A] = [A] + [B] - дистрибутивний закон множення cуми чисел на матрицю.

3. Добуток матриць

Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці [A] і [B] називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці [A] дорівнює кількості рядків другої матриці [B].

Якщо матриці [A] порядку nxm і [B] порядку mxp узгоджені, то добутком цих матриць називається така матриця [С] порядку nxp, для якої елемент дорівнює добутку кожного елемента -го рядка матриці [A] на -й стовпець матриці [B].

Операція множення матриць не комутативна:

.

Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.

Для дій над матрицями справедливі такі властивості:

1) - асоціативний закон множення матриць;

2) - дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць;

3) - комутативний закон множення квадратної матриці [A] на одиничну матрицю [E] такого ж порядку.

4. Транспонування матриць

Матриця [A] називається транспонованою відносно матриці [A], якщо кожен стовпець матриці [A] є відповідним рядком матриці [A], тобто перший стовпець матриці [A] є першим рядком матриці [A], відповідно другий стовпець матриці [A] є другим рядком матриці [A] тощо.

Для елементів транспонованих матриць виконується умова . Якщо квадратна матриця [A] симетрична, то виконується умова .

Властивості транспонованих матриь:

1. ([A] ) ;

2. ([A]+[B]) ;

3. ([A] [B])

4. ([A] [B] [C]) .

5. Обернена матриця

Ролзглянемо невироджену матрицю п-го порядку.

Квадратна матриця [A] називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто det [A] , і виродженою або особливою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто det [A] = 0.

.

Квадратна матриця [A] називається оберненою до квадратної матриці [A] того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці:

.

6. Визначник матриці

Визначник матриці [A] – це число det [A], яке знаходиться за встановленим правилом.

Для матриці другого порядку визначник обчислюється за формулою:

[A] = = .

Для матриці третього порядку визначник обчислюється за формулою:

[A] = =

=

Отже, підсумовуючи сказане, визначник – це функція, яка кожній матриці, за виключенням вироджених, ставить у відповідність дійсне число.

Для обчислення визначників матриць вищих порядків зручно використовувати пакет електронних таблиць Excel.

2. Диференційне числення в матричній формі. Розглянемо деякі випадки диференційного числення в матричній формі, які використовуються в економетрії.

1. Нехай задані вектори

, .

Знайдемо частинну похідну за змінною від скалярного добутку ( ):

,

звідки випливає, що похідна від скалярного добутку векторів ( ) за одним із них дорівнює другому вектору:

.

2. Розглянемо добуток , де [A] – квадратна симетрична матриця порядку п:

Знайдемо частинні похідні за елементами вектора :

Це подвоєний добуток і-го рядка матриці [A] на вектор стовпець Х:

Враховуючи, що , а також, що для симетричної матриці , отримаємо альтернативну формулу:

3. Розглянемо квадратичну форму як функцію елементів матриці [A]. Знайдемо частинну похідну за елементом :

Всього таких похідних буде nxn. Звідси:

.

4. Знайдемо другу частинну похідну за вектором Х:

.