Лекция 12.

Токи и напряжения ветвей

Сечения и контуры можно рассматривать как некоторую систему координат [108], относительно которой записывают топологические уравнения. Каждому сечению можно привести в соответствие напряжение ветви фундаментального дерева (узловое напряжение), а каждому контуру — ток в контуре (контурный ток). Упорядоченная совокупность напряжений ветвей фундаментального дерева образует ν-мерный вектор узловых напряжений

(1.105)

а упорядоченная совокупность токов в контурах образует σ-мерный вектор контурных токов

(1.106)

Для главных сечений и контуров U — это вектор напряжений ветвей дерева графа, а I — вектор токов ветвей дополнения (хорд).

Поскольку каждая ветвь графа образует с ветвями дерева замкнутый контур, то напряжения ветвей можно выразить по второму закону Кирхгофа через узловые напряжения. Совокупность ветвей дерева, образующих с некоторой ветвью графа контур, определяется совокупностью инцидентных данной ветви сечений. Однако последняя, в свою очередь, определяется ненулевыми элементами того столбца матрицы сечений, который соответствует данной ветви графа. Значит, произведение столбца па вектор узловых напряжений должно быть равно напряжению рассматриваемой ветви и, следовательно,

(1.107)

где П^t — транспонированная матрица сечений;

(1.108)

— вектор напряжений ветвей графа.

Если фундаментальное дерево является одновременно

и деревом графа, то все Множество ветвей можно разбить на два подмножества — ветви дерева и хорды. Соответственно и вектор напряжений ветвей можно разбить на два субвектора — вектор напряжений ветвей дерева U_T и вектор напряжений хорд U_N, т. е.

(1.109)

Тогда на основании (1.107) с учетом выражения (1.108) получаем

Так как U_T=U, то

(1.110)

т. е. напряжения хорд выражаются через напряжения ветвей дерева с помощью матрицы главных сечении для хорд.

Ток ветви графа равен алгебраической сумме контурных токов, инцидентных данной ветви. Совокупность контуров, инцидентных данной ветви, определяется ненулевыми элементами соответствующего столбца матрицы контуров. Следовательно,

(1.111)

где

(1.112)

— вектор токов ветвей графа; Рt — транспонированная матрица контуров.

Если совокупность независимых контуров образована главными контурами относительно некоторого дерева графа, то вектор токов ветвей можно разбить на два субвектора — вектор токов ветвей дерева /г и вектор токов хорд I_N, т.е.

(1.113)

На основании (1.111) с учетом выражения (1.104) для матрицы главных контуров получаем

Так как I_N = I, то

(1.114)

т. е. токи ветвей дерева выражаются через токи хорд с помощью матрицы главных контуров для ветвей дерева.

Связь между топологическими матрицами

Топологические матрицы при любом способе выбора сечений и контуров, но при одинаковой нумерации ветвей данного графа связаны соотношениями

или (1.115)

Одно из этих соотношений является следствием другого и получается транспонированием произведения матриц. Доказательство непосредственно вытекает из уравнения (1.99) и формулы (1.115):

Тем, что равенство должно соблюдаться для любых значений составляющих вектора I, подтверждается справедливость первого из соотношений (1.115). Аналогично можно доказать второе соотношение.

Из соотношения (1.115) следует важная зависимость между матрицами π и ρ. Если главные сечения и контуры образованы с помощью одного и того же дерева графа, то

откуда

(1.116)

Это значит, что для получения матрицы главных сечений и контуров достаточно выбрать какое-либо дерево графа схемы, записать матрицу π и по формуле (1.116) определить ρ как транспонированную π с обратным знаком, а затем дополнить матрицы π и ρ единичными субматрицами в соответствии с (1.98) и (1.104).

Например, если дерево графа рис. 1.34,г одновременно определяет совокупность главных сечений и контуров, то матрица сечений для хорд примет вид

После транспонирования этой матрицы и перемены знаков ее элементов получаем

что совпадает с матрицей главных контуров для ветвей дерева, полученной ранее (см. стр. 64).

Матрицу главных контуров Р можно получить также непосредственно из матрицы главных сечений Л для случая, когда независимые контуры определяются тем же фундаментальным деревом, что и независимые сечения, по следующим правилам.

1. В строках матрицы П удаляют все элементы, расположенные в столбцах для ветвей дерева; полученные в результате строки с l—ν=σ элементами после перемены их знаков на обратные являются столбцами матрицы Р, которые соответствуют ветвям фундаментального дерева.

2. Столбцы матрицы Р, соответствующие хордам, заполняются σ-мерными векторами с единственным нулевым элементом, равным +1; этот элемент располагают в той строке матрицы Р, которая соответствует данной хорде.

Топологические матрицы П и Р относятся к классу унимодулярных матриц, т. е. все их элементы и миноры любого порядка равны ±1 или 0. Ранг матрицы П равен числу независимых сечений v, а матрицы Р — числу независимых контуров σ. Можно показать, что любой минор v-ro порядка матрицы П отличен от нуля только тогда, когда он образован из столбцов, соответствующих ветвям дерева. Аналогично минор σ-го порядка матрицы Р отличен от нуля только тогда, когда он образован из столбцов, соответствующих дополнению. Таким образом, можно образовать совокупность всех деревьев или дополнений графа перебором миноров наибольшего порядка матриц П и Р.

Полная система уравнений

Расположим ветви графа в таком порядке, чтобы сначала следовали y-ветви, а затем z-ветви. Тогда топологические матрицы можно представить через субматрицы для каждого из подмножеств ветвей:

(1.117)

При этом уравнения (1.99) и (1.100) будут иметь вид

Их можно объединить в одно матричное уравнение

или

(1.118)

где векторы X' и X" определяются выражениями (1.86), а матрицы Θ и Θ₁ имеют вид:

Уравнение (1.118) является топологическим уравнением графа, отображающим его структуру. Независимо от характера компонентов схемы оно всегда линейное. Матрицы Θ и Θ₁— квадратные матрицы l-го порядка с вещественными элементами, равными ±1 или 0.

Вместе с компонентным уравнением (1.88) топологическое уравнение образует полную систему уравнений графа

(1.119)

Эта система соответствует 2l скалярным уравнениям, причем первое уравнение отражает l компонентных уравнений ветвей графа, а второе — l уравнений равновесия относительно выбранной системы координат (независимых сечений и контуров). Матрица V и вектор F определяются параметрами и характеристиками компонентов, а матрицы Θ и Θ₁ — способом их соединения. Решив систему (1.119), можно определить векторы X' и X", т. е. токи и напряжения всех ветвей графа. В § 4.6 будут рассмотрены современные эффективные методы решения системы (1.119). При этом уравнение (1.118) будет часто использовано в его эквивалентной форме

(1.120)