Лекция 9.

Специальные управляющие ветви вводят в тех случаях, если управляющий ток или напряжение не совпадают с током или напряжением какой-либо ветви графа или если целесообразно исключить из числа управляющих какой-либо класс ветвей (например, ветви реактивных двухполюсников или независимых источников).

Если искомые токи и напряжения не совпадают с токами и напряжениями каких-либо ветвей схемы, вводят специальные ветви искомых величин — короткозамкнутые для токов и разомкнутые для напряжений. Их уравнения совпадают с (1.88).

Следует отметить, что выражения (1.83) часто применяют и для описания нелинейных компонентных уравнений

(1.89)

их линеаризацией, при этом элементы компонентных матриц V, V определяются частными производными выражений (1.89) и являются переменными величинами.

Более того, выражения (1.83) можно представить в алгебраической форме, если для описания вольт-амперных характеристик реактивных компонентов воспользоваться заменой через эквивалентные проводимости и источники токов, вытекающей из формул численного интегрирования дифференциальных уравнений. Например, для уравнения

при подстановке

получаем алгебраическое выражение

(1.90)

где

Здесь индексы п—i характеризуют последовательные временные шаги представления компонентного уравнения. Подробнее об алгебраизации компонентных уравнений будет сказано в § 4.6.

Таблицы соответствия и структурная матрица

Наиболее просто структура графа может быть описана с помощью таблиц соответствия. Для ветвей таблица соответствия представляет собой упорядоченные пары инцидентных им вершин графа (начальная и конечная вершины).

Таблица соответствия для вершин графа содержит номера инцидентных им ветвей, соединенных в соответствующих вершинах (со знаком плюс, если ветвь направлена от узла, и со знаком минус, если она направлена к узлу). Например, для графа, изображенного на рис. 1.29,а, таблица имеет следующий вид:

Ветви	Инцидентные вершины (начальная, конечная)	Ветви	Инцидентные вершины (начальная, конечная)		Вершины	Инцидентные ветви
1	b, d	7	a, g		a	–1+7
2	d, f	8	g, b		b	+1+4–8
3	f, g	9	g, c		c	+5–9+12
4	b, e	10	d, e		d	+2+6+10
5	c, e	11	e, g		e	–4–5–10+11
6	d, g	12	c, g		g	–3–6–7+8+9–11–11

Число ветвей, инцидентных данной вершине, называют степенью вершины (степени вершин а и f равны двум, вершин b, с, d — трем, е — четырем и g — семи). Число параллельных ветвей между двумя вершинами называют взаимной степенью этих вершин.

Таблицы соответствия можно развернуть в структурную матрицу А (матрицу инциденции), число строк которой равно числу вершин v, а число столбцов — числу ветвей l. Элемент а_ij данной матрицы равен +1 (—1), если j-я ветвь графа инцидентна i-й вершине и направлена от нее (к ней), или 0, если j-я ветвь не инцидентна i-й вершине. Переход от таблицы соответствия к структурной матрице прост и может быть легко запрограммирован для вычислительных машин. Структурная матрица, как и таблица соответствия, полностью отображает топологию графа.

Так как каждая ветвь графа инцидентна двум вершинам, то и каждый столбец структурной матрицы содержит только два ненулевых элемента ( + 1 и —1), знаки которых определяются направлением ветви относительно этих вершин. Следовательно, сумма элементов d каждом столбце тождественно равна нулю, а значит и сумма всех строк структурной матрицы равна нулю, т. е. строки структурной матрицы линейно зависимы (одна из них равна сумме остальных с обратным знаком). Например, для графа рис. 1.29,а

Поскольку ранг матрицы определяется числом ее линейно независимых строк, то ранг структурной матрицы не может превышать величины v— 1. Вычеркнув одну из строк матрицы А, получим сокращенную структурную матрицу А₀. Например, вычеркивая последнюю строку, соответствующую узлу g, получаем

Таким образом, для определения структуры графа достаточно располагать сведениями об инцидентности его ветвей и вершин.