Лекция 14.
Использование обобщенного компонентного уравнения
Полученные три типа уравнений основаны на системе (1.120), и которой компонентное уравнение представлено в упрощенной форме. Одна из важных особенностей ВК-уравнений состоит в том, что ее можно распространить и па случай, когда компонентное уравнение представлено в общем виде. Подставив значение векторов X' и X" из (1.127) и (1.139) в (1.84), получим
(1.144)
т. е. придем к уравнению в форме (1.141), но матрица схемы будет иметь вид
(1.145)
Заметим, что на основе обобщенных компонентных уравнений можно получить и уравнения типов KB и KK, но при этом потребуется обращение матрицы (1—V'). Действительно, из (1.84) имеем
(1.146)
Подставив значение вектора X" в (1.118), получим
(1.147)
что сводится к уравнению типа KB, где
(1.148)
Уравнение типа КК получим, подставив в (1.147) значение вектора X' из (1.127). При этом матрично-вектор-ные параметры схемы выразятся соотношениями
(1.149)
Выражения (1.148), (1.149) имеют смысл только при условии, что матрица (1—V') неособенная, т. е. ее определитель не равен нулю. В большинстве практических случаев это условие соблюдается. Выражения для матрично-векторных параметров схемы W и Q при различных типах уравнений сведены в табл. 1.2, где
Таблица 1.2
Матрично-векторные параметры схемы в различных типах
Тип уравнений WX=Q |
W |
Q |
W |
Q |
Вектор переменных Х |
Упрощенные компонентные уравнения |
Обобщенные компонентные уравнения |
||||
КВ |
|
|
|
|
|
КК |
|
|
|
|
|
ВК |
|
|
|
|
|
— компонентные матрицы и вектор (для упрощенных компонентных уравнений V = 0);
— топологические матрицы преобразования, причем
Вырождение координат
Если среди независимых сечений имеются такие, которым инцидентны только z-ветви (будем называть их 2-сечениями), а среди независимых контуров такие, которым инцидентны только y-ветви (будем называть их y-контурами), то матрицы П и Р можно представить в виде:
(1.150)
(1.151)
Здесь П'у и П'z — субматрицы сечений для у- и z-ветвей соответственно, а П"z— матрица z-сечений для z-ветвей. Аналогично, P'y и Р'z — субматрицы контуров для у- и
z-ветвей соответственно, a Р"y — матрица y-контуров для y-ветвей. При этом
(1.152)
(1.153)
На основании соотношения (1.115) с учетом свойств топологических матриц в рассматриваемом случае имеем
(1.154)
откуда после перемножения матриц следуют зависимости
(1.155)
(1.156)
В соответствии с (1.119), учитывая приведенные соотношения, имеем
(1.157)
Подставляя значения топологических субматриц из (1.152) и (1.153) в (1.135) с учетом соотношения (1.156), получаем
И, следовательно,
(1.158)
Выражение (1.131) для матрицы схемы в уравнениях типа КК принимает вид
что после перемножения и сложения матриц дает
(1.159)
Для задающего вектора на основании (1.130) получаем выражение
(1.160)
Как видно из (1.159) и (1.160), матрица W содержит нулевые строки и столбцы, а вектор Q содержит нулевые строки, соответствующие z-сечениям и y-контурам. Вследствие этого соответствующие скалярные уравнения вырождаются в нулевые тождества, а узловые напряжения, соответствующие z-сечениям, и контурные токи, соответствующие y-контурам, можно исключить из искомого вектора. Таким образом, z-сечения и y-контуры исключаются из системы координат и поэтому определяют вырожденные координаты.
Удалив из системы уравнений нулевые тождества, получаем матрично-векторные параметры схемы в виде
(1.161)
где
(1.162)
причем
(1.163)
Уравнение схемы по форме совпадает с (1.129), но отличается тем, что вектор состояния содержит только v'<v узловых напряжений и σ'<σ контурных токов, которые соответствуют невырожденным сечениям и контурам, т. е.
(1.164)
Из соотношения (1.127) с учетом (1.157) имеем
или
(1.165)
где X определяется выражением (1.164).
Решив уравнения схемы с учетом вырожденных координат и определив вектор X, можно затем по формуле (1.165) найти вектор X'. Если требуется определить также и вектор X", то можно воспользоваться компонентным уравнением (1.88).
Заметим, что сокращения числа переменных за счет вырождения координат можно достигнуть только в уравнениях типа КК. При этом, как следует из приведенных соотношений, используются только топологические матрицы П'=[П'yП'z] и Р''=[Р'yР'z] относительно невырожденных координат. В то же время наличие вырожденных координат не снижает числа переменных в других типах уравнений. В этом легко убедиться, обратив внимание на отсутствие нулевых столбцов в матрице в и нулевых строк в матрице Θ1, определяемых выражениями (1.157).