Виведення диференційного рівняння теплопровідності (рівняння Фур'є)

Розглянемо фізичне тіло, де тепло передається за рахунок теплопровідності. Припускаємо, що тіло однорідне і ізотропне, всі фізичні величини – теплопровідність, густина і т. ін. постійні. В тілі відсутні теплові джерела та стіки теплоти. Нехтуємо тепловою деформацією тіла.

В иділимо елементарний паралелепіпед об’ємом dV=dxdydz, з ребрами dx, dy, dz. Нехай тепло в такому паралелепіпеді проводиться за рахунок теплопровідності, тоді кількість тепла, яка проходить через ліву грань по координаті х:

dQx=qxdydzdτ,

де qx – густина теплового потоку на площадці dF, кількість теплоти, яка проходить через праву грань може бути представлена рядом Тейлора:

Приймемо до уваги перші два члени, через малу величину наступних членів: . Тоді на правій грані отримаємо:

.

Різниця між кількістю тепла, що ввійшло в паралелепіпед і кількістю тепло, що вийшла із нього:

Х:

У:

Z:

Згідно закону Фур'є

Підставляючи кожне із цих значень у вирази dQ і складаючи накопичення енергії у всьому об’ємі, отримаємо:

де – оператор Лапласа. З іншого боку, за законом збереження енергії, кількість приросту тепла в паралелепіпеді, дорівнює зміні його ентальпії при ρ=const, тоді:

; прирівнюючи два останні вирази, складаючи і приймаючи, що λ/(ρСр)=а, ми можемо записати

- це і є рівняння теплопровідності в нерухомому середовищі. Коефіцієнт а = λ/(ρСр) – називають коефіцієнтом температуропровідності, який характеризує теплоінерційні властивості тіла. Інтегрування цього рівняння дає t=f(x,y,z,τ). Якщо процес стаціонарний тоді dt/dτ = 0, а якщо процес одномірний, тоді dt/dy = 0, dt/dz = 0. Це дає змогу перевести частину похідну в повну:

.

Загальна математична модель в процесах теплообміну та принципи їх розв’язання

Під конвективним теплообміном розуміють перенесення теплоти за рахунок теплопровідності та конвекції. Таке перенесення може бути описане системою рівнянь:

(1)

(2)

(3)

1. – рівняння перенесення енергії або маси

2. – рівняння руху рідини Нав’є Стокса

3. – рівняння нерозривності або суцільності потоку

Загалом, ця система рівнянь описує математичне температурне поле всередині рідини. Ця система є замкненою. Кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих.

У загальному випадку ця система описує явище, коли енергія чи маса переноситься шляхом тепломасопровідності і конвекції.

Для виділення із цілого ряду явищ одного конкретного явища, до цієї системи рівнянь необхідно додати умови однозначності. Ці умови дозволяють виділити одне конкретне явище, що розглядається. Такі умови називаються умовами однозначності.

Умови однозначності

Вищерозглянуті диференційні рівняння розглядає цілий ряд однорідних по своїй сутті явищ. Для виділення із цього ряду конкретного явища, необхідно додати до цього рівняння додаткові умови – умови однозначності. Умови однозначності включають в себе:

1. геометричні умови (форма і розміри тіла);

2. фізичні умови (рід речовини та її фізичні константи – ρ, λ, Ср тощо;

3. початкові умови (тільки не для однорідних процесів);

4. граничні, межові або крайові умови:

1. першого роду –коли задаються температури стінок (t_ст.=const);

2. другого роду – коли задається функція яка описує густину теплового потоку на стінках (q_ст.=const);

3. третього роду – коли задається закон взаємодії тіла з навколишнім середовищем. Найчастіше це закон Ньютона-Ріхмана (q=α(t_ст.-t_р)=α(t_р-t_ст.);

4. четвертого роду –коли задаються умови теплообміну при контакті твердих тіл.