Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах першого роду

П ід теплопередачею в циліндричній стінці розуміють таку теплопередачу, при якій тепло поширюється тільки по радіусу r (товщині), а по висоті і по азимуту (куту φ) поширенням теплоти нехтуємо. Задається, що d₁=2_r1; d₂=2_r2, r – перемінний радіус, який змінюється від r₁ до r₂ (геометричні умови).

Фізичні умови: λ – теплопровідність стінки.

Граничні умови:

Коли r =r₁, тоді t=t₁

Коли r =r₂, тоді t=t₂.

Необхідно знайти густину теплового потоку q і закон зміни температури від товщини стінки (r). В нашому випадку замість декартової системи координат краще застосувати циліндричну.

Оператор Лапласа

. Так як , то і , а так як

, то і –- умова плоскої стінки.

Запишемо рівняння в повних диференціалах:

. Введемо нову зміну , тоді і . Отже:

ln u + ln r =ln c₁

u=c₁/r;

dt=udr=c₁dr/r

t=c₁ ln r + c₂, де с₁ і с₂ – константи інтегрування, які знаходяться використовуючи граничні умови першого роду:

t₁=c₁ ln r₁ + c₂

t₂=c₁ ln r₂ + c₂ .

І, нарешті, маємо:

– рівняння температурного поля в циліндричній стінці. З рівняння Фур'є для стінки , оскільки , і F=2πrl, тоді

- це тепловий потік, який проходить через стінку. Густина теплового потоку для внутрішньої стінки: . Для зовнішньої стінки: . Порівнюючи дві останні вирази, оскільки d1<d2, то q1<q2. Тобто, для криволінійної поверхні q не характеризує інтенсивність однозначно. Введемо поняття лінійної густини теплового потоку: , де [q_l]=Вт/м.

Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах третього роду

Г раничні умови третього роду, це випадок, коли стінка занурюється у зовнішнє середовище, тобто омивається ним. Нехай стінка всередині контактує з рідиною, яка має температуру tp1, тепловіддача теплоти від рідини до стінки характеризується α1, ззовні стінка омивається холодною рідиною з температурою tp2 і коефіцієнтом тепловіддачі α2; таким чином, теплота віддається від гарячої рідини до стінки – це процес тепловіддачі – далі ця ж теплота проводиться через циліндричну стінку шляхом теплопровідності.

Необхідно знайти в цих умовах залежність теплового потоку від теплопровідності стінок. Оскільки величина теплового потоку є величина стала і не змінюється, то

Перепишемо ці рівняння відносно різниці температур:

Складемо їх:

. Позначимо через

, k_l –лінійний коефіцієнт теплопередачі, який характеризує інтенсивність передачі теплоти від гарячої рідини до холодної через циліндричну стінку, що їх розділяє: [k_l]=Вт/(м·К).

Величина обернено пропорційна до лінійного коефіцієнту теплопередачі називається лінійним термічним опором теплопередачі

. Якщо тепло проводиться через багатошарову циліндричну стінку, тоді:

, величина R_l – повний термічний опір.

. Якщо d₂/d₁<2, тобто мала кривизна, тоді можна використовувати рівняння отримані для плоскої стінки, в цьому випадку похибка не перевищує 4%. Якщо в якості поверхні брати ту поверхню, для якої α менше, то похибка стає ще меншою.

Визначення оптимального діаметру по довжині трубопроводу

Як правило, при розрахунку технологічних схем задають видаток рідини (продуктивність по рідині) та відстань перекачування. Із рівняння нерозривності:

, де Vв – об'ємний видаток, ω – середня швидкість. Чим більший діаметр, тим менші втрати напору, але більші втрати на матеріал, тобто затрати на виготовлення труб малого діаметру менші. Проте втрати напору в такому трубопроводі будуть більші. Оптимальний діаметр – це такий діаметр, який забезпечить мінімальну ціну на рідину, що перекачується. З рисунку слідує, що мінімум на сумарній кривій, відповідає мінімальним затратам на трубопроводі.

Д ля малов’язких рідин (вода) швидкість до 3 м/с, для в’язких рідин (нафта) швидкість до 1 м/с, якщо рідина протікає без прикладення зовнішніх сил (самоплином), тоді швидкість протікання 0–2 м/с. При перекачці рідини насосами – 1-3 м/с, водяна пара та гази перекачуються по трубопроводі зі швидкістю 38 м/с.