21. Законы кирхгофа для мгновенных значений и в комплексной форме.

Σi = 0.

Выразив мгновенные значения токов через их комплексные выражения, получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

ΣI = 0.

Сумма комплексных значений токов в любом узле цепи равна нулю. Поскольку комплексные значения токов состоят из действительных и мнимых частей, очевидно, должны быть равны нулю отдельно сумма действительных и сумма мнимых частей комплексных значений токов в узле цепи:

ΣI cos ψ = 0,   ΣI sin ψ = 0.

Σе = Σir + Σu.

Выразив ЭДС, токи и напряжения в комплексной форме, получим второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

ΣE = ΣIZ + ΣU.

Сумма комплексных значений ЭДС при обходе замкнутого контура равна сумме произведений комплексных значений токов на соответствующие комплексные значения полных сопротивлений и сумме комплексных значений напряжений.

Комплексные E, U и I имеют знак плюс, если принятые направления этих величин совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и знак минус, когда направления противоположны.

Необходимо отметить, что равенство суммы комплексов правой и левой частей уравнения не означает равенства их модулей. Должны быть отдельно равны суммы действительных и мнимых составляющих комплексов левой и правой частей уравнения.

22. Комплексные метод расчета цепей синусоидального тока.

Для расчета цепи необходимо перейти от заданных характеристик действующих в цепи источников ЭДС и тока, используя формулы прямого преобразования к их комплексным изображениям:  ;   ( ,   — действующие ЭДС и токи, _e, _J — их начальные фазы). При наличии единственного источника его начальную фазу можно принять равной нулю, тогда его комплексное изображение будет вещественным. Далее вводятся комплексные сопротивления (или проводимости) элементов цепи: Z_R = R; Z_L = jL; Z_C = 1/jC или Y_R = 1/R;Y_L = 1/jL; Y_C = jC. Эти величины выражают связи комплексных токов   и напряжений   на элементах цепи:   ( ). Сами комплексные токи и напряжения подчиняются законам Кирхгофа:  ;  . Поэтому далее комплексные величины рассчитываются на основе уравнений Кирхгофа либо вытекающих из них узловых или контурных уравнений. При этом матрицы узловых проводимостей Y_у или контурных сопротивлений Z_к, формируемые из комплексных проводимостей или сопротивлений элементов цепи, имеют комплексные элементы.

К комплексным величинам   и   можно применять принципы наложения и взаимности. Комплексные сопротивления Z и проводимости Y подчиняются правилам суммирования и преобразования при последовательном и параллельном соединениях, тождественным правилам преобразованиям сопротивлений R и проводимостей G резистивных элементов.

Таким образом, комплексный метод позволяет распространить на расчет цепей синусоидального тока все известные способы и методы расчета резистивных цепей. Их соответствие расчетным величинам и формулам комплексного метода показано в Tабл. 7.2.

Значения комплексных токов   и напряжений   определяют действующие значения как модуль соответствующей комплексной величины (или его амплитуду, если при анализе используются комплексные амплитуды). Начальная фаза равна аргументу соответствующей комплексной величины. Таким образом, для перехода от комплексных изображений   и   к представлению искомых величин во временной области i(t) и u(t) используются формулы обратного преобразования (7.2)Таблица 7.2.

Обозначения величин и соотношений

Величины, законы и методы	При анализе резистивных цепей во временной области	При комплексном анализе на синусоидальном токе
ЭДС	e
Ток источника	J
Напряжение	u
Ток	i
Сопротивление	R	Z = R + jX
Проводимость	G	Y = G – jB
Закон Ома	u = Ri
“ “	i = Gu
1-й закон Кирхгофа
2-й закон Кирхгофа
Узловые уравнения
Контурные уравнения