Электрические цепи синусоидального тока
Основные понятия и определения
Резистор, индуктивность и емкость являются пассивными элементами электрической цепи.
Резистор r или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: световую, химическую или механическую. Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля; рассеивание энергии в таких элементах отсутствует.
Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления ψ от тока i:
Мгновенное значение напряжения на индуктивности:
Здесь eL - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.
Емкость отражает
явление накапливания энергии электрического
поля и характеризуется зависимостью
заряда q от напряжения:
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:
Символический метод расчета
Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.
Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.
1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
|
.
2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
|
или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС
|
.
Ток
можно записать по формуле Эйлера:
С учетом (2) уравнение (1) примет вид:
Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:
и оно может быть записано для каждой группы в отдельности, например:
Исключая общие множители ej⋅ω⋅t и 1/2⋅j получим:
Комплексное число
называется
током в комплексной форме или комплексом
тока по максимальному значению. Здесь
Im
модуль комплекса по максимальному
значению, а ψ фаза комплекса. Если за
модуль комплекса принять не амплитудное,
а действующее значение, то получим
комплекс по действующим значениям
I=I⋅ej⋅ψ
или просто комплекс тока.
Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:
Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис.2.2б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис.2.2а. Комплекс тока I называют символом мгновенного тока i(t), а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.
Изображение токов и напряжений комплексными числами
Запишем комплексное число в виде
Im = Imеjα = Im cos α + jIm sin α
Допустим, что вектор комплексного числа Im вращается с постоянной угловой частотой ω и угол α = ωt + ψ. Тогда
Im = Imеj(ωt + ψ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ).
Слагаемое Im cos (ωt + ψ) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается
Im cos (ωt + ψ) = ReImеj(ωt + ψ).
Слагаемое Im sin (ωt + ψ) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается
Im sin (ωt + ψ) = ImImеj(ωt + ψ).
Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока
i = Im sin (ωt + ψ)
и является проекцией вращающегося вектора Im на мнимую ось комплексной плоскости.
Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда Im записывается в виде
Im = Imejψ,
где Im — комплексная амплитуда; Im - ее модуль, а ψ - угол между вектором Im, и действительной осью.
Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0.
Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения
и = Um sin(ωt + ψ1); i = Im sin (ωt + ψ2).
Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде
Um = Umejψ1; Im = Imejψ2;
где Um и Im — соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ψ1 и ψ2 — начальные фазы Um и Im относительно действительной оси (углы начальных фаз).
Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:
U = |
Um |
ejψ1 - Uejψ1, I = |
Im |
ejψ2 = Iejψ2. |
√2 |
√2 |
Законы Кирхгофа в комплексной форме
Первый закон Кирхгофа:
Второй закон Кирхгофа:
Уравнения энергетического баланса:
Векторные диаграммы