4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов
П
усть
в ветви на рис. 12
.
Тогда
где
,
причем пределы изменения
.
Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение
,
|
которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение
графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.
5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов
О
пуская
промежуточные выкладки, с использованием
соотношений (2) и (4) для ветви на
рис. 15 можно записать
. |
(8) |
, где
,
причем пределы изменения
.
|
|
|
|
На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.
6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов
Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:
;
,
где
[См]
– активная проводимость;
,
где
[См]
– реактивная проводимость конденсатора.
|
|
|
|
Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме
,
где
;
-
комплексная проводимость;
.
Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20.
Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать
.
Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.
7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов
Для цепи на рис. 21 можно записать
;
, где [См] – активная проводимость;
,
где
[См]
– реактивная проводимость катушки
индуктивности.
Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме
,
где
;
-
комплексная проводимость;
.
Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.
|
|
|
|
Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:
.
Мощность в цепи
Пусть в цепи (рис. 2.15) ток равен
Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол ψ, отличный от 0 и ±π/2. Мгновенная мощность для этой цепи примет вид: тогда:
Выразим сопротивления через модуль Z:
Подставив (14) в (13), получим:
Временные диаграммы i(t),u(t),p(t) приведены на рис. 2.16.
Мощность p(t) имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:
и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей
называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах. Мощности P и S связаны по закону треугольника мощностей, рис. 2.17.
Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная:
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных; полезная мощность измеряется ваттметром.
Расчет цепей
При анализе цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы и комплексные числа. Сами по себе векторные диаграммы зачастую служат для иллюстрации результатов теоретических исследований и решения задач. Они помогают лучше понять сущность изучаемых процессов и наглядно представить соотношения и связи напряжений и токов на различных участках с параметрами цепи. Во многих случаях векторные диаграммы, построенные предварительно по изложенным выше правилам без каких-либо вычислений, являются основой для вывода из них конкретной методики решения данной задачи. Возможны также привязка векторной диаграммы к комплексным осям, выражение векторов комплексными числами и дальнейший расчет в символической форме. Принципиального отличия между методом векторных диаграмм и символическим нет. Как мы видели раньше, за аналитическими действиями с комплексными числами кроются определенные геометрические операции с векторами. Следует также помнить, что никакого физического содержания векторы и комплексные числа в себе не несут. Это чисто математические абстракции, необходимые для анализа. Символический метод базируется на законах Ома и Кирхгофа, которые в символической форме записываются точно так же, как в цепях постоянного тока. Поэтому все изложенные ранее методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из этих законов, применимы и для расчета в символической форме цепей синусоидального тока.
Пример.
Дано:
|
|
|
|
|
|
Определить: |
1)
полное комплексное сопротивление
цепи
|
|
2)
токи
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
;
Решение:
1.
.
2.
.
3.
.
4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:
.
Тогда
.
5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то
6.
.
7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме
|
|
или после подстановки численных значений параметров схемы
Резонансные явления (резонанс напряжений, резонанс токов)
Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов L и C возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, ω0, при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.