Включение цепи r, l к источнику постоянного напряжения.

Рассмотрим включение источника постоянного напряжения u(t)=U в цепь последовательно соединенных r, L элементов рис. 5.1. Для послекоммутационного периода ( t>0 и t=0), применив закон Кирхгофа, получим:

а затем составим дифференциальные уравнения рассматриваемой цепи

полагая

Решение этого уравнения, согласно (5.3) можно считать известным:

Первое слагаемое i_пр есть частное решение уравнения (5.6) и выражает принужденное (установившееся) значение равное U/r. Второе слагаемое i_ce=Ae^pt представляет собой решение однородного уравнения, т.е. уравнения (5.5) при равенстве нулю правой части. Здесь p и A - соответственно корень характеристического уравнения и постоянная интегрирования. Для рассматриваемой цепи p=-r/L, а постоянная A определяется по начальному току в индуктивности i(0+). Так как ток в индуктивности до момента коммутации отсутствовал (нулевые начальные условия), то при t=0 для полного решения (5.6) имеет место.

Именно здесь проявилось действие закон коммутации (5.1), распространено на полное решение. Окончательно из (5.6) находим, что

где

- постоянная времени.

Переходное напряжение на индуктивности можно найти из формулы

Графики переходного тока и напряжения, построенные по формулам (5.8) и (5.9) приведены на рис. 5.2.

Чтобы оценить влияние параметров цепи на переходные процесс, свободную составляющую тока i_ce для различных моментов времени, выраженных через t.

Тогда

и.т.д.

Следовательно постоянная времени t равна промежутку времени в течении которого свободная составляющая тока убывает в е раз. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается спустя t=(4…5)τ.

Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью.

Рассмотрим теперь цепь, питаемую от источника постоянного тока (рис. 5.3), в которой после коммутации (замыкания ключа) индуктивность с током (i(0-)≠0) оказывается замкнутой на резистор r₂.

В образовавшемся при этом контуре благодаря энергии, запасенной в магнитном поле индуктивности, ток исчезает мгновенно: ЭДС самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремиться поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. Принужденный ток в данном случае равен нулю, переходной ток в контуре являться свободным, постепенно приближающимся к нулю. Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению:

общее решение которого:

A - постоянная интегрирования, вычисляемая из начальных условий:

где i_пр(-0) - ток индуктивности в момент, непосредственно предшествующей короткому замыканию. При t=0 из (5.10) имеем:

т.е.

На рис. 5.4 изображены графики спада тока и напряжения на индуктивности

С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи r, L характеризуется тем, что вся запасенная в индуктивности до коммутации энергия ее магнитного поля

в течение переходного процесса выделяется в резисторе r в виде тепла.

Включение цепи r, l к источнику гармонического напряжения.

Пусть источник с напряжением

включается в цепь с последовательным соединением резистора r и индуктивности L.

Для решения дифференциального уравнения цепи для послекоммутационного периода ( t>0 и t=0 ) следуя общему методу, находим сначала частное решение, хорошо известное из теории синусоидальных токов.

Затем записываем уже известное решение однородного дифференциального уравнения цепи r, L содержащее постоянную интегрирования

и, наконец, полное решение в виде

Далее, устанавливаем начальные условия для тока в индуктивности. Так как цепь была разомкнута до коммутации, то имеем нулевые начальные условия.

При t=0 из (5.18) устанавливаем, что

а полный переходной ток

Его график представлен на рис. 5.5