17. Метод трапеций вычисления определенных интегралов.

В этом методе подынтегральная функция f(x) на интервале [x_i,x_i+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения  f(x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:

Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций

, т.е. , а численное значение интеграла на всем [a,b] . Это вычислительная формула метода трапеций.

(6.12) (6.13)

Выражение для главного члена погрешности частичного интеграла:

.

Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид

,

(6.18)

т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.

18. Уточнение по Ричардсону вычисления определенных интегралов методом трапеций.

Формулу для погрешности метода трапеций можно записать в виде

,

где С - величина, не зависящая от шага разбиения h.

Для уточнения метода трапеций можно применить следующую манипуляцию: вычисляются два значения  S_h и S_k одного и того же интеграла для разных разбиений. Тогда можно записать:

и .

(6.19)

Если вычесть эти два уравнения друг из друга, то можно определить С:

.

Тогда, подставляя это значение С в одну из формул (6.19), получаем:

Вычисленное таким образом значение интеграла является гораздо лучшим приближением, чем  S_h или S_k.

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу или уточнением по Ричардсону.

Решение дифференциальных уравнений

Задача Коши

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

(7.1)

где  ⁾- производные первого, второго, ... , n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций

y = y(x,a₁, a₂, ... , a_n),

где  a₁, a₂, ... , a_n - произвольные константы.

Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y = ae^x (рис.7.1). Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.

Рис.7.1. Семейство кривых - решение дифференциального уравнения y' = y

Рис.7.2. Результат численного решения задачи Коши

Если в дополнение к уравнению (7.1) задать конкретные значения

для некоторого значения x₀ в виде

; ; ;...; ,

(7.1’)

то тем самым определяется конкретный набор  a₁, a₂, ... , a_n и, следовательно, единственная конкретная функция y(x,a₁, a₂, ... , a_n) из всего семейства решений.

Условия (7.1') называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (7.1) и начальные условия (7.1'), называется "задачей Коши".

Класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y' = x² + y² не имеет аналитического решения. В большинстве практических задач функция F или коэффициенты, входящие в нее, могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных, и тогда аналитическое решение задачи Коши становится невозможным.

При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами x_нач, x_кон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y = y(x).

Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (x_i,y_i), i = 0,1,2,...,n, где  x₀=x_нач, x_n= x_кон;  x_i+1 = x_i + h.