19. Метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1 порядка.

Одношаговые методы рассмотрим на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида

y' = f (x,y) ,

(7.2)

при начальном условии

y(x0) = y0.

(7.2’)

С помощью этих методов вычисляют последовательные значения y, соответствующие дискретным значениям независимой переменной x.

Метод Эйлера - это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Итак, решается задача Коши (7.2, 7.2’). Запишем разложение для m=0, отбросим в нем члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, и получим:

.

(7.5)

Величину  находим из дифференциального уравнения (7.2), подставив в него начальное условие: . Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки.

Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

(7.6)

и делая сколь угодно много шагов. Графически метод Эйлера показан на рис.7.3. Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен y'(x₀), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке  x₀+h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке x₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале [x₀,x₁] в результаты вносится погрешность. Ошибка метода имеет порядок  h², а сам метод является методом первого порядка, так как в его вычислительной формуле (7.6) параметр h имеет максимальную степень -1.

Рис.7.3. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Рис.7.4. Ошибка метода Эйлера на m-м шаге

20. Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1 порядка.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L₁ есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (x_m, y_m). Ее наклон к оси OX равен углу  , для которого

,

или в силу (7.2):

.

Прямая L₂ есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке , являющейся пересечением L₁ c прямой x = x_m+1. Наклон L₂ равен углу   , для которого

.

Прямая  проходит через точку , а ее угол наклона равен  , для которого

или .

Прямая L параллельна и проходит через точку (x_m, y_m), а ее пересечение с x = x_m+1 как раз и определяет окончательное значение y_m+1.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение функции  y(x) в точке  x_m+1 по методу Эйлера:

,

(7.7)

а затем оно используется для вычисления  , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (x_m,x_m+1):

.

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f(x_m, y_m) в начале интервала, найдем более точное значение  y_m+1:

.

(7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.