- •1. Решение трансцендентных уравнений методом дихотомий.
- •2. Решение трансцендентных уравнений методом хорд.
- •3. Решение трансцендентных уравнений методом касательных (метод Ньютона)
- •4. Решение трансцендентных уравнений методом секущих.
- •5. Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций.
- •Задачи линейной алгебры
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •4.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых итераций.
- •8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
- •9. Вычисление определителей методом Гаусса.
- •10. Обращение матриц.
- •Аппроксимация зависимостей
- •11. Интерполяция зависимостей каноническим полиномом.
- •12. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •13. Интерполяционный полином Ньютона.
- •14. Интерполяция сплайнами.
- •15. Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов.
- •Математически минимум величины q достигается при равенстве нулю частных производных от q по всем коэффициентам с0, с1, …, сm:
- •Вычисление определенных интегралов Требуется вычислить интеграл вида
- •16. Методы прямоугольников вычисления определенных интегралов.
- •Аналогично, в методе правых прямоугольников
- •17. Метод трапеций вычисления определенных интегралов.
- •18. Уточнение по Ричардсону вычисления определенных интегралов методом трапеций.
- •Решение дифференциальных уравнений
- •19. Метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1 порядка.
- •20. Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1 порядка.
- •21. Исправленный метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1 порядка.
- •22. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка решения задачи Коши для оду 1 порядка.
- •23. Метод Кутта-Мерсона решения задачи Коши для оду 1 порядка.
Задачи линейной алгебры
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Основной задачей линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Кроме этого здесь решаются задачи обращения матриц, вычисления определителей, нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
-
a11 x1
+
a12 x2
+
...
+
a1n xn
=
a1,n+1
a21 x1
+
a22 x2
+
...
+
a2n xn
=
a2,n+1
(4.1)
. . . .
.
. . . .
.
...
.
. . . .
.
. . . .
an1 x1
+
an2 x2
+
...
+
ann xn
=
an,n+1
где aij - заданные элементы расширенной матрицы СЛАУ ( i=1,...,n, j=1,...,n+1 );
xi - неизвестные (искомые) величины;
n - порядок системы.
Системе (4.1) соответствует расширенная матрица размера n на n+1:
-
a11
a12
...
a1n
a1,n+1
a21
a22
...
a2n
a2,n+1
.
.
.
.
.
an1
an2
...
ann
an,n+1
в которой первые n столбцов состоят из коэффициентов при неизвестных, а последний столбец образован из свободных членов системы (4.1).
Решить СЛАУ - значит найти такую комбинацию значений xi , при которой каждое уравнение (4.1) превращается в тождество.
По правилу Крамера каждое значение xi решения системы (4.1) вычисляется по формуле xi= D i /D, где D - определитель матрицы коэффициентов при неизвестных, D i - определитель матрицы, полученной из матрицы коэффициентов при неизвестных заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Этой формулой можно с успехом пользоваться для систем 2-го, 3-го порядков, но для более высоких порядков вычисление определителей становится довольно сложной проблемой, и поэтому метод, основанный на правиле Крамера, практически не используется.