Аппроксимация зависимостей

Постановка задачи, основные понятия

Одной из важнейших задач, возникающих в процессе математического моделиро­вания, является вычислений значений функций, входящих в математическое описание модели. Используемые в математических моделях функции зачастую задаются табличным способом, например, если они получены в результате эксперимента.

x	f (x)
x0	f0
x1	f1
x2	f2
. . .	. . .
xn	fn

Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. В общем случае узлы не являются равноотстоящими. При проведении вычислительных работ обычно воз­ни­­кает необходимость "сгущать" эти таблицы, т.е. вычислять функцию для значений ар­гу­мента, не совпадающих с теми, которые попали в таблицу. Эта проблема решается путем замены функции f(x) , для которой может быть даже неизвестно анали­ти­­чес­кое выраже­ние, некоторой функцией  (x), имеющей сравнительно несложный аналитический вид и которая в некотором смысле близка к f(x). Приближение функции  f(x) более прос­той функцией  (x) называется аппроксимацией. Близости этих функций добиваются вве­дением в аппрокси­ми­ру­ю­щую функцию  (x) свободных параметров c₀, c₁, c₂, ..., c_n. Критерии «близости» аппроксимирующей функции (x) к неизвестной функции f(x) могут быть самые различные. Например, это может быть равенство значений (x) и f(x) в узлах таблицы, или минимум суммы квадратов разности между этими значениями. Для аппроксимации по первому критерию применяются полиноми­аль­ные и сплайновые методы; второй критерий используется методом наименьших квад­ратов.

Задачей  интерполяции является построение аппроксимирующей функции  (x) и нахождение по ней приближенных значений табличной функции f(x) при аргументах x, не совпадающих с узловыми, но содержащихся в интервале ( x₀, x_n). Эти значения аргу­мента в дальнейшем будем называть точками интерполяции. Если же аппрокси­миру­ющую функцию вычисляют для точек, расположенных вне интервала [x₀, x_n], то такая задача называется экстраполяцией.

11. Интерполяция зависимостей каноническим полиномом.

Интерполяция — приближение одной функции другой функцией.

С самого начала хотелось бы заметить, что мы занимаемся интерполяцией функций, а не узлов. Разумеется, интерполяция будет проводиться в конечном числе точек, но выбирать их мы будем сами.

В настоящем исследовании будет изучена проблема интерполяции функции одной переменной полиномом каноническим полиномом, будет рассмотрен вопрос точности приближения, и как, варьируя узлы, через которые пройдёт полином, достигнуть максимальной точности интерполяции.

Полином в каноническом виде

Известно, что любая непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) может быть хорошо приближена некоторым полиномом P_n(x). Справедлива следующая Теорема (Вейерштрасса): Для любого  >0 существует полином P_n(x) степени  , такой, что 

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином степени n в каноническом виде:

Коэффициенты полинома   определим из условий Лагранжа  ,  , что с учётом предыдущего выражения даёт систему линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными:

Обозначим систему таких уравнений символом (*) и перепишем её следующим образом:

или в матричной форме:   где   - вектор-столбец, содержащий неизвестные коэффициенты  ,   - вектор-столбец, составленный из табличных значений функции  , а матрица   имеет вид:

Система линейных алгебраических уравнений (*) относительно неизвестных   иметь единственное решение, если определитель матрицы   отличен от нуля.

Определитель матрицы   называют определителем Вандермонда, его можно вычислить по следующей формуле:

Число узлов интерполяционного полинома должно быть на единицу больше его степени. Это понятно из интуитивных соображений: через 2 точки можно провести единственную прямую, через 3 - единственную параболу и т.д. Но полином может получиться и меньшей степени. Т.е. если 3 точки лежат на одной прямой, то через них пройдёт единственный полином первой степени (но это ничему не противоречит: просто коэффициент при старшей степени равен нулю).

При достаточной простоте реализации метода он имеет существенный недостаток: число обусловленности матрицы быстро растёт с увеличением числа узлов интерполяции. Из-за плохой обусловленности матрицы рекомендуется применять другие методы интерполяции (например, интерполяция полиномами Лагранжа). При этом важно понимать, что при теоретическом применении различных методов они приводят к одинаковому результату, т.е. мы получим один и тот же полином.

Однако при практической реализации мы получим полиномы различной точности аппроксимации из-за погрешности вычислений аппаратуры.