Приложения Приложение 1. Определение реакций опор статически определимых балок

Цель занятия:

Научиться определять реактивные усилия, возникающие в опорных точках статически определимых нагруженных балок.

Необходимые знания для достижения цели:

1. Основные виды опор на балках и возникающие в них реактивные усилия.

2. Понятие статической определимости.

3. Формы статических уравнений равновесия для плоской системы сил.

4. Правила определения момента относительно заданной точки от действия всех видов усилий, приложенных к балке.

1. Теоретический материал

Какие основные виды опор используются для балок?

Чаще всего для балок используются следующие виды опор:

– жесткое защемление (жесткая заделка),

– шарнирно-неподвижная опора,

– шарнирно-подвижная опора.

Какие реактивные усилия возникают в опорах балки от действия плоской внешней нагрузки?

а) балка с жестким защемлением:

В жестком защемлении (А) балки под действием произвольно направленной внешней нагрузки (силы F₁ и F₂) в плоской системе координат возникают три реактивных усилия: две проекции реактивной силы R_Ax и R_Ay и реактивный момент M_A:

Но если внешние силы будут направлены строго вертикально (параллельно друг другу), то горизонтальная проекция реактивной силы R_Ax будет тождественно равна нулю. Таким образом, при вертикальной нагрузке в жестком защемлении балки возникает два реактивных усилия – вертикальная реактивная сила R_A и реактивный момент M_A:

б) балка на двух шарнирных опорах:

Рассмотрим балку на двух шарнирных опорах, одна из которых шарнирно-неподвижная (опора А), а другая – шарнирно-подвижная (опора В). Внешняя нагрузка – плоская, произвольно направленная. Наличие шарнира в таких опорах снимает поворотное усилие, поэтому в них реактивных моментов не возникает. В шарнирно-неподвижной опоре (А) в силу её неподвижности возникает две проекции реактивной силы по направлению координатных осей R_Ax и R_Ay. В шарнирно-подвижной опоре (В) возможность её смещения в горизонтальном направлении компенсирует действие горизонтальных составляющих внешних сил и поэтому возникает единственная реактивная сила в вертикальном направлении R_B (перпендикулярно направлению смещения опоры):

Если же внешние силы будут направлены строго вертикально, то в шарнирно-неподвижной опоре (А) горизонтальная проекция реактивной силы R_Ax будет тождественно равна нулю. То есть, при вертикальной нагрузке и в шарнирно-неподвижной и в шарнирно-подвижной опорах возникают только по одной вертикальной реактивной силе – R_A и R_B:

Какие конструкции называются статически определимыми?

Конструкции, у которых количество неизвестных реактивных усилий равно необходимому и достаточному количеству уравнений статического равновесия, называются статически определимыми. А раз количество неизвестных соответствует количеству уравнений, в которые эти неизвестные входят, то все реактивные усилия однозначно определяются из уравнений статического равновесия. Отсюда и название таких конструкций – статически определимые.

К статически определимым балкам относятся балки с жестким защемлением и балки на двух шарнирных опорах, одна из которых шарнирно-неподвижная, а другая – шарнирно-подвижная.

Что такое условие равновесия конструкции?

Все нагруженные конструкции должны находиться в равновесии. Условием равновесия статически нагруженных плоских конструкций является выполнение для них трех статических уравнений равновесия.

Три статических уравнения равновесия для конструкции, находящейся под действием произвольной плоской системы сил, могут быть записаны в одной из трех форм:

1) , , , (1)

где: – моментное уравнение равновесия, записанное относительно произвольной точки А, означающее, что сумма моментов, возникающих относительно точки А от действия всех активных (внешних) и реактивных сил конструкции должна равняться нулю; и – силовые уравнения равновесия, означающие, что сумма проекций всех активных и реактивных сил конструкции на координатные оси X и Y, соответственно, должна равняться нулю. Рекомендация: эту форму уравнений равновесия рекомендуется выбирать для определения трех реакций опор балки с жестким защемлением, причем в качестве точки А рационально выбирать точку защемления балки:

2) , , , (2)

где: и – моментные уравнения равновесия, записанные относительно двух произвольных точек А и В, а – силовое уравнение равновесия в проекции на произвольную ось U, не перпендикулярную прямой, соединяющей точки А и В. Рекомендация: эту форму уравнений равновесия рекомендуется выбирать для определения реактивных усилий балки на двух шарнирных опорах, причем в качестве точек А и В рационально выбирать опорные точки балки, а силовое уравнение равновесия записывать в проекции на горизонтальную ось Х:

3) , , , (3)

где: , , – моментные уравнения равновесия, записанные относительно трех произвольных точек А, В и С, не лежащих на одной прямой.

Если же силы, действующие на конструкцию, образуют параллельную систему сил (например, все силы направлены строго вертикально), то количество уравнений равновесия сокращается до двух, и они могут быть записаны в одной из двух форм:

1) , , (1')

здесь смысл уравнений тот же, причем ось Y, на которую проектируются все силы, должна быть параллельна силам. Рекомендация: эту форму уравнений равновесия рекомендуется выбирать для определения двух реакций опор балки с жестким защемлением и вертикальной нагрузкой, причем в качестве точки А рационально выбирать точку защемления балки:

2) , , (2')

здесь два моментных уравнения равновесия записываются относительно двух произвольных точек А и В, однако прямая АВ не должна быть параллельна силам. Рекомендация: эту форму уравнений равновесия рекомендуется выбирать для определения двух реакций опор балки с шарнирными опорами и вертикальной нагрузкой, причем в качестве точек А и В рационально выбирать опорные точки балки:

Как составить моментное уравнение равновесия относительно данной точки?

Наибольшее затруднение у студентов вызывает составление моментных уравнений равновесия. Для этого нужно уметь определять значения моментов, возникающих в данной точке (относительно которой записывается уравнение равновесия) от действия каждого усилия (активного и реактивного), приложенного к конструкции. Основные виды усилий, применяемых в расчетных схемах:

– сосредоточенный момент М,

– сосредоточенная сила F,

– распределенная сила интенсивностью q, приложенная на расстоянии а.

Повторим правила определения момента в точке от действия М, F и q. Момент – это поворотное усилие, которое характеризуется значением и направлением вращения.

1) Момент, возникающий в точке О плоской системы от действия сосредоточенного момента М, приложенного в точке А данной системы, равен значению данного момента М и сохраняет его направление вращения:

(по часовой стрелке).

Таким образом, действие сосредоточенного момента передается в любую точку плоскости без изменения.

2) Момент, возникающий в точке О плоской системы от действия сосредоточенной силы F, приложенной в точке А данной системы, равен произведению силы на её плечо (с учетом направления вращения).

(по часовой стрелке)

Плечом силы F относительно точки О ( ) называется кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

3) Момент, возникающий в точке О плоской системы от действия распределенной нагрузки интенсивностью q, приложенной на расстоянии а, равен произведению равнодействующей распределенной нагрузки на её плечо (с учетом направления вращения).

(по часовой стрелке)

Равнодействующая распределенной нагрузки Q – это сосредоточенная сила, приложенная в центре тяжести распределенной нагрузки и равная произведению интенсивности q на расстояние действия а: . Плечом равнодействующей Q относительно точки О ( ) называется кратчайшее расстояние от точки О до линии действия равнодействующей.

Таким образом, чтобы составить моментное уравнение равновесия для балки относительно выбранной точки нужно определить моменты от всех действующих на балку усилий (активных и реактивных) относительно данной точки, просуммировать их с учетом направления вращения и приравнять полученную сумму к нулю.