2. Пример решения задачи

Задача

Для данной балки построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Решение:

Т.к. балка крепится на двух шарнирных опорах, то до начала построения эпюр необходимо определить реакции в опорах (практическое занятие по определению реакций опор на балках см. в Приложении 1, стр.55). Обозначим буквами опоры: шарнирно неподвижную «А», шарнирно подвижную «В». Для определения реакции в опоре А составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры В: .

Используем правило знаков моментов, принятое в Теоретической механике (раздел «Статика»): момент против часовой стрелки принимаем положительным и наоборот. В результате получим: . Подставив численное значение всех входящих величин, выразим из уравнения . Для определения реакции в опоре В составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры А: , расписывая левую часть уравнения получим: , откуда . Для проверки правильности определенных реакции составим уравнение суммы проекций сил на вертикальную ось: или . Подставив численное значение сил, получим: , т.е. реакции найдены верно и можно приступать к построению эпюр.

Разделим балку на участки слева направо:

1-й участок от начала действия распределенной нагрузки до точки опоры А;

2-й участок от точки опоры А до конца действия распределенной нагрузки;

3-й участок от конца распределенной нагрузки до точки приложения силы F;

4-й участок от точки приложения силы F до конца балки.

Построение эпюры Q_y

Проведем под расчетной схемой базу для эпюры Q_y и разделим ее на участки, соответствующие участкам балки.

1-й участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенная сила, поэтому на эпюре Q_y будет ноль.

Состояние по длине участка: весь участок загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре будет наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q=20кН/м.

Правая граница участка: определим значение поперечной силы, умножив q на длину участка а, получим 20кН. Отложим это значение вниз от базы, т.е. со знаком «–» т.к. поворот вектора q относительно правой границы первого участка происходит против часовой стрелки. Соединим ординаты на левой и правой границе участка наклонной прямой.

2-й участок

Левая граница участка: здесь находится сосредоточенная сила R_A, на величину которой надо сделать скачок в положительную сторону согласно правилу знаков. От ординаты равной –20 кН надо вверх отложить величину 40 кН. От базы эпюры сверху получится ордината, равная 20 кН.

Состояние по длине участка: весь второй участок также загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q=20кН/м.

Правая граница участка: определим значение Q_y, алгебраически складывая величину Q_y на левой границе и величину равнодействующей распределенной нагрузки на 2-ом участке: . Соединим ординаты на левой 20кН и правой границе –20 кН наклонной прямой.

3-й участок

Левая граница участка: на левой границе находится сосредоточенный момент, на который поперечная сила не реагирует, т.е. значение –20 кН не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, поэтому на эпюре будет параллельная прямая с ординатой –20кН.

Правая граница участка: ордината равная –20кН – конец прямой параллельной базе.

4-й участок

Левая граница участка: находится сосредоточенная сила F=80 кН, которая вызовет на эпюре скачок на эту величину вверх. Почему вверх ? Потому, что сила F по ходу построения эпюры (слева направо) поворачивается по часовой стрелке. В результате в начале четвертого участка ордината поперечной силы будет равна 60 кН.

Состояние по длине участка: участок ничем не загружен, поэтому на эпюре должна быть прямая, параллельная базе.

Правая граница участка: здесь находится сосредоточенная сила R_B, которая вызовет скачок на эпюре вниз на 60 кН.

Построение эпюры М_х

Эпюра М_х строится под эпюрой Q_y. База эпюры предварительно делится на участки, соответствующие участкам балки.

1-й участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х будет ноль.

Состояние по длине участка: наличие равномерно распределенной нагрузки на эпюре М_х дает параболу, выпуклость которой направлена вниз (в сторону действия q). Парабола будет без экстремума, поскольку наклонная прямая на соответствующем участке Q_y не пересекает базу. Строится по двум точкам – по значениям момента на левой и правой границе участка.

Правая граница участка: сделаем сечение по правой границе первого участка и оставим для определения момента в сечении «отрезанный» первый участок, загруженный только распределенной нагрузкой. Момент от нее и определит величину внутреннего момента. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей, равной qa=20∙1=20 кН, мысленно поместим ее в точку центра тяжести площади, которую она занимает (это точка пересечения диагоналей прямоугольника), поэтому вектор равнодействующей будет проходить через середину длины участка. Тогда плечо у равнодействующей будет равно 0,5 метра, а момент в конце первого участка определится величиной равной , откладываем это значение в конце участка вверх, т.к. от действия распределенной нагрузки на отсеченную часть балки растянуты верхние волокна.

2-й участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х значение 10 кНм не изменится.

Состояние по длине участка: наличие равномерно распределенной нагрузки даст на эпюре М_х снова параболу выпуклостью вниз с экстремумом посередине участка, поскольку на соответствующем участке эпюры поперечной силы наклонная прямая пересекает базу в этом месте. Для определения экстремума сделаем сечение ровно посередине второго участка. Оставляя левую часть балки относительно сделанного сечения, на которой есть распределенная нагрузка и реакция R_A, определим момент М_х:

Правая граница участка: т.к. парабола симметричная кривая, то очевидно, что в конце участка значение на эпюре момента должно быть такое же, как в начале (10 кНм на верхних волокнах). По трем точкам: 10 кНм, 0, 10 кНм строим параболу.

3-й участок

Левая граница участка: есть сосредоточенный внешний момент, равный 30 кНм, поэтому на эпюре М_х сделаем скачок вверх на величину момента. Почему вверх . Потому что, воздействуя моментом на балку слева, мы изгибаем ее так, что будут растянуты верхние волокна. Величина ординаты стала 40 кНм.

Состояние по длине участка: пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным Q_y этого участка, т.е. –20 кН. Построим прямую по двум точкам. Для этого определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка: сделаем сечение по правой границе участка, оставим для определения момента правую часть балки относительно сделанного сечения, на которой есть только сила R_B. Определим момент в сечении, как:

Почему +60 кНм . Потому, что, воздействуя на балку справа силой R_B, мы изгибаем ее так, что будут растянуты верхние волокна. По полученным точкам на левой и правой границах участка соответственно 40 кНм и 60 кНм строим наклонную прямую.

4-й участок

Левая граница участка: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х значение 60 кНм не изменится.

Состояние по длине участка: пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным Q_y этого участка, т.е. 60 кН. Построим прямую по двум точкам. Для этого определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка: находится в шарнирной опоре В, на которой отсутствует внешний момент. Такой шарнир называется свободным и в соответствующем сечении на эпюре М_х должен быть 0. По двум значениям момента на левой и правой границах участка (60 кНм и 0) строим наклонную прямую.