§ 2. Полугруппы и группы
В алгебре особо важную роль играют бинарные алгебраические операции, удовлетворяющие некоторым специальным свойствам.
Пусть А – непустое множество, – бинарная алгебраическая операция на А (т.е. a, b A ! ab A). Алгебра (А, ) называется полугруппой, если выполнено свойство ассоциативности:
(А): a, b, c A (ab)c = a(bc).
Полугруппа (А, ) называется полугруппой с единицей или моноидом, если она удовлетворяет свойству существования нейтрального элемента (единицы):
(Н): e A a A ae = a = ea.
При этом элемент e A, о котором говорится в этом свойстве называется нейтральным элементом или единицей моноида (А, ).
Полугруппа (А, ) называется коммутативной или абелевой, если в ней выполнено свойство коммутативности:
(К): a, b A ab = ba.
Примеры: 1. (N, +) – коммутативная полугруппа, но без единицы. В самом деле, свойства ассоциативности и коммутативности операции + известны из школы, так что (N, +) – коммутативная полугруппа. Если e – единица этой полугруппы, то a N a+e = a = e+a, откуда следует, что e = 0, но 0 N – противоречие.
2. (Z, +) (Q , +) (R , +) – цепочка коммутативных полугрупп с единицами (все единицы равны 0). Не шокирует Вас фраза в скобках ?
3. (N, ) (Z, ) (Q , ) (R , ) – цепочка коммутативных моноидов (все единицы равны 1).
4. (S(A), ), (In(A), ), (Sur(A), ), (Map(A), ) – полугруппы с единицами (все единицы равны = idA – тождественному отображению множества А). Если А содержит более двух элементов, то эти моноиды не коммутативны (попробуйте доказать !).
5. (Z \ {0}, ) (Q \ {0} , ) (R \ {0} , ) – цепочка коммутативных моноидов (все единицы равны 1). Почему умножение будет бинарной алгебраической операцией ?
Пусть (A, ) – полугруппа с единицей e A. Элемент a A называется обратимым относительно операции , если существует b A со свойством ab = e = ba. Элемент b A с указанным свойством называется обратным элементом к a A и обозначается обычно через a –1.
Примеры: 1. Нейтральный элемент e A моноида (А, ) обратим: обратным к нему служит сам элемент e: ee = e = ee.
2. Элемент 0 Z обратим в моноиде (Z , +), но необратим в моноиде (Z , ): в моноиде (Z , +) он является нейтральным элементом, а в моноиде (Z , ) условие обратимости 0b = 1 = b0 противоречиво.
3. Все элементы моноидов (Z, +) (Q , +) (R , +), (Q \ {0} , ) (R \ {0} , ) обратимы.
4. В моноидах (Z, ), (Z \ {0}, ) обратимы только два элемента: +1, –1. Действительно, обратимость элемента a Z означает, что b Z ab = 1 = ba , т.е. 1 делится нацело на a, что возможно только при a = ±1. Элементы 1 и –1 обратны сами себе: (±1)(±1) = 1.
5. В моноиде (S(A), ) = (Bi(A), ) по теореме об обратимости функции обратимы все элементы.
Моноид (A, ) называется группой, если каждый его элемент обратим. Другими словами, алгебра (A, ) называется группой, если выполнены следующие свойства:
(А): a, b, c A (ab)c = a(bc),
(Н): e A a A ae = a = ea,
(О): a A b A ab = e = ba.
Если в дополнение к этим свойствам выполнено ещё и свойство коммутативности
(К): a, b A ab = ba,
то группа называется коммутативной или абелевой.
Примеры: 1. (Z, +) (Q , +) (R , +) – цепочка абелевых групп.
2. (N, +), (N, ), (Z, ), (Q , ), (R ) – не группы (нарушено условие (О)).
3. (Q \ {0}, ) (R \ {0}, ) – цепочка абелевых групп.
4. (S(A), ) = (Bi(A), ) – группа, а (In(A), ), (Sur(A), ), (Map(A), ) – не группы (?!).
5. Пусть Z3
= {
,
,
}.
Определим на Z3
бинарные алгебраические операции
+,
с помощью таблиц:
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, что (Z3 , +), (Z3 \ { }, ) – абелевы группы. Проверим это для (Z3 \ { }, ). Нужно проверить выполнение свойств ассоциативности, коммутативности, существования единицы и обратимости всех элементов.
(А):
a, b, c
Z3
(ab)c
= a(bc).
Докажем, что это свойство выполнено,
даже если не исключать из Z3
элемент
.
Для этого составим таблицу, в которой
вычислим левую и правую части
рассматриваемого равенства при любых
комбинациях элементов a,
b, c.
Для сокращения перебора можно заметить,
что
=
=
для любого x
{0, 1, 2}. Поэтому обе части равны
,
если хотя бы один из элементов a,
b, c
равен
.
Таким образом, можно считать, что a,
b, c
{
,
}.
a |
b |
c |
ab |
(ab)c |
bc |
a(bc) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что все значения произведений (ab)c и a(bc) одинаковы. Ассоциативность доказана.
(К): a, b Z3 ab = ba. Это сразу следует из определения умножения: таблица симметрична относительно главной диагонали, т.е. a, b Z3 ab = ba.
(Н): Z3 a Z3 a = a = a. Очевидно из определения умножения.
(О): a Z3 \ { } b Z3 ab = = ba. Исходя из определения умножения составим таблицу обратных элементов:
a Z3 \ { } |
a –1 Z3 |
|
|
|
|
Таким образом, все свойства для (Z3 \ { }, ) абелевой группы проверены.
В заключение параграфа приведём таблицу, резюмирующую специфику терминологии, которую уже отметили внимательные читатели:
Операция |
Обозначение |
Название единичного элемента |
Обозначение единичного элемента |
Название обратного элемента |
Обозначение обратного элемента |
сложение |
+ |
нулевой |
0 |
противоположный |
–a |
умножение |
или |
единичный |
1 |
обратный |
a –1 |
общего вида |
|
нейтральный |
e |
обратный или симметричный |
a –1 |